高考文科数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考文科数学分类汇编》

第十三篇：极坐标与参数方程

解答题

1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0.

（1）求C2的直角坐标方程；

2（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

π4.【2018江苏卷21C】在极坐标系中，直线l的方程为?sin(??)?2，曲线C的方程为

6??4cos?，求直线l被曲线C截得的弦长．

参考答案 解答题

1.解： （1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为(x?1)?y?4．

22（2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与

C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两

个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|k?12?2，故

4k??或k?0．

3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??与C2有两个公共点．

4时，l1与C2只有一个公共点，l23当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以或k?|k?2|k?12?2，故k?04． 3经检验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?4时，l2与C2没有公共点． 3综上，所求C1的方程为y??4|x|?2． 3x2y2??1． 2.解：（1）曲线C的直角坐标方程为

416当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得t1?t2??4(2cos??sin?)，故， 21?3cos?于是直线的斜率．

3.解：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足． 于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C的极坐标方程为?=4cos?，

所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．

π因为直线l的极坐标方程为?sin(??)?2，

6则直线l过A（4，0），倾斜角为

π， 6所以A为直线l与圆C的一个交点． 设另一个交点为B，则∠OAB=

π． 6π， 2连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=

所以AB?4cosπ?23． 6因此，直线l被曲线C截得的弦长为23．