（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）÷111=y+6． ∵F（t）+F（s）=18， ∴x+5+y+6=x+y+11=18， ∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数， ∴
或
或
或
或
或
．
∵s是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴∴∴
或
或或或
， 或或
，
，
∴k的最大值为．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找出关于x、y的二元一次方程．
26．（12分）（2017?重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=
x2﹣
x﹣
与x轴
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=
x2﹣
x﹣
沿x轴正方向平移得到新抛物线
y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y=
（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，
然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式； （2）设直线CE的解析式为y=mx﹣
，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到直线CE的
x2﹣
x﹣
），则点
解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，F（x，
x2+
x﹣
），则FP=
x2+
x．由三角形的面积公式得到△EPC的面积=﹣
x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得到点P的坐标，作点K关于CD和
CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可． 【解答】解：（1）∵y=∴y=
（x+1）（x﹣3）．
x2﹣
x﹣
，
∴A（﹣1，0），B（3，0）． 当x=4时，y=∴E（4，
）．
，
．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：解得：k=
，b=
．
x+
．
∴直线AE的解析式为y=
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣∴直线CE的解析式为y=
x﹣
，将点E的坐标代入得：4m﹣．
=，解得：m=．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
设点P的坐标为（x，则FP=（
x﹣
x2﹣
x2﹣x2+
x﹣），则点F（x，x﹣
）=
x2+x2+
x﹣x． x．
），
）﹣（
∴△EPC的面积=×（x）×4=﹣
∴当x=2时，△EPC的面积最大． ∴P（2，﹣
）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
∵K是CB的中点， ∴k（，﹣∴tan∠KCP=∵OD=1，OC=
）． ． ，
∴tan∠OCD=．
∴∠OCD=∠KCP=30°． ∴∠KCD=30°．
∵k是BC的中点，∠OCB=60°， ∴OC=CK．
∴点O与点K关于CD对称． ∴点G与点O重合． ∴点G（0，0）．
∵点H与点K关于CP对称， ∴点H的坐标为（，﹣
）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH． ∴GH=
=3．
∴KM+MN+NK的最小值为3． （3）如图3所示：
∵y′经过点D，y′的顶点为点F， ∴点F（3，﹣
）．
∵点G为CE的中点， ∴G（2，
）．
∴FG==．
），Q′（3，对称，
）．
∴当FG=FQ时，点Q（3，当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=∴点Q″（3，2
）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）． 由两点间的距离公式可知：a+∴点Q1的坐标为（3，﹣
）．
）或′（3，
）或（3，2
）或（3，
=
，解得：a=﹣
．
综上所述，点Q的坐标为（3，﹣
）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．
相关推荐：
loading