∵△ADF∽△DEC，
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．（12分）（2017?毕节市）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同． （1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程
????????
=，再解方程可得答案； ???????
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
????????
=， ???????
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解， 则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本， 由题意得：10m+6n=100，
??
整理得：m=10﹣n，
??
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1； ∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本； ②购买这种笔4支，购买本子10本； ③购买这种笔1支，购买本子15本．
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等
量关系，列出方程．
26．（14分）（2017?毕节市）如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求AE的长．
【考点】ME：切线的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】14 ：证明题．
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四边形的性质得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以OA⊥EF，于是根据切线的判定定理可得到EF是⊙O的切线；
（2）连接OB，如图，利用平行四边形的性质得OA=BC，则OB=OC=BC，于是可判断△OBC为等边三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定义可求出AE的长． 【解答】（1）证明：∵CD为直径， ∴∠DBC=90°， ∴BD⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形， ∴AO∥BC， ∴BD⊥OA， ∵EF∥BD， ∴OA⊥EF，
∴EF是⊙O的切线； （2）解：连接OB，如图， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA=BC， 而OB=OC=OA， ∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形， ∴∠C=60°， ∴∠AOE=∠C=60°，
在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=，
????
∴AE=3tan60°=3 ??．
????
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了平行四边形的性质和解直角三角形．
27．（16分）（2017?毕节市）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标． 【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
??=1?????+??=0
把A、B、C三点坐标代入可得 16??+????+??=??，解得 ??=?3，
??=?4??=?4∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点， ∵C（0，﹣4）， ∴D（0，﹣2）， ∴P点纵坐标为﹣2，
??? ??????+ ????代入抛物线解析式可得x﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
????
??+ ????∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
??
（3）∵点P在抛物线上，
2
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
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