排列组合的策略【范本模板】

专题 计数原理、排列组合

编讲：张老师

一、两个计数原理

1。分类计数原理：完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有：

m1?m2????????mn种不同的方法．

2．分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1?m2????????mn种不同的方法．

3．两个基本原理都是涉及完成一件事的不同方法种数的计数方法．它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用任何一种方法都可以独立完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 简单地说，分类加法计数原理：如果每种方法都能将规定的事件完成 分步乘法计数原理：如果需要通过若干步才能将规定的事件完成 二、排列与组合

排列:从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列数公式：A错误!＝n（n－1）(n－2)…（n－m＋1）＝错误!(m，n∈N＋，且m≤n）．（注：规定0！＝1)．

组合:从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 组合数公式：Cmn＝错误!＝错误!＝错误!. 组合数的两个性质：

①C错误!＝C错误!；②C错误!＋C错误!＝C错误!(注：规定C错误!＝1）．

注意：排列组合主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队．因此，分析解决排列、组合问题的基本思维是“先选，再排”

2．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：

(1）“十六字”方针是解排列组合题的基本规律．即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合．

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(2）“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即

①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法;③多排问题单排法；④定序问题缩倍法； ⑤定位问题优先法;⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法;

⑨至少(或至多）问题间接法；⑩选排问题先取后排法；?局部与整体问题排除法；?复杂问题转化法．

分析：点评:本考点所涉及的主要问题有：数字问题,人或物有条件排列问题，平面的个数问题，异面直线的对数问题，选代表或选物品的问题,集合的子集问题等．解决这些问题常用的数学方法有:直接法;利用分类计数原理的“分类法”；利用分步计数原理的“分步法”,一一列举所有可能的“穷举法”；有条件限制的应用题中的“特殊元素分析法\及“特殊位置分析法”;相邻问题“捆绑法\；相间问题“插空法”；定序问题“缩倍法”；交叉问题“集合法”;至多至少“排除法”；未知问题“转化法”；综合问题“先选后排法”及“图表法\等．

? 3．解排列组合的应用题，要注意以下四点：

? (1)仔细审题,判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进

行分步．

? (2)深入分析，周密考虑，注意分清是“乘\还是“加”，既不少也不多．

? （3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案,把复杂问题

分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决． ? （4）有关排列、组合混合问题，应遵循先选后排的原则． ? 4．解排列、组合应用题的一般步骤 ? （1)分析题意

? ①认清应把问题中的哪些具体对象看作元素(如人、物、数、图形等）．

? ②分析完成这件事需有几类办法，找到分类标准，做到不重不漏；执行各类办法时又分别

需要进行几步才能完成事件． ? （2)选定解法

? 通常不含限制条件的排列、组合问题都可以直接求解;含有限制条件的排列、组合问题有

直接法和间接法两种解法(其中分类法和排除法最为常用)．但无论用直接法或间接法，都要注意从不同角度,正、反两方面考虑同一问题，复习中要注意一题多解的训练． ? (3）列式求解． 1．排列、组合问题的解题方法：

（1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．

（2)区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的

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位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

（3）排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素（特殊位置)优先安排法;②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团\问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、等价转化法．

总结提高

解有条件限制的排列与组合问题的思路： （1）正确选择原理，确定分类或分步计数； (2)特殊元素、特殊位置优先考虑； （3)再考虑其余元素或其余位置。

解决排列组合问题的一般方法

编讲:张老师

一. 特殊元素和特殊位置优先法

技巧：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。 例1。由0，1,2,3，4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。

练习1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，

问有多少不同的种法？

二. 相邻元素捆绑法

技巧:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻， 共有多少种不同的排法。

练习2：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?

三. 不相邻问题插空法

技巧:元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

例3。一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场 顺序有多少种?

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