2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0?，则MIN= A．{x?4?x?3?

B．{x?4?x??2? C．{x?2?x?2?

D．{x2?x?3?

2．设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A．(x+1)?y?1

22B．(x?1)?y?1 C．x?(y?1)?1 D．x?(y+1)?1

222222a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则 3．已知 A．a?b?c

B．a?c?b

C．c?a?b

D．b?c?a

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5?15?1≈0.618，（22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5?1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长2度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

5．函数f(x)=

sinx?x在[??,?]的图像大致为 2cosx?x

B．

A．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．

5 16B．

11 32C．

21 32

D．

11 167．已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为 A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 68．如图是求

12?12?12的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=

1 2?AB．A=2?1 AC．A=

1

1?2AD．A=1?1 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则

A．an?2n?5 an?3n?10 B． 2C．Sn?2n?8n

D．Sn?12n?2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|?2|F2B|，

|AB|?|BF1|，则C的方程为

x2?y2?1 A．2x2y2??1 B．32x2y2??1 C．43x2y2??1 D．5411．关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间（

?2，?）单调递增

③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A．①②④

B．②④

④f(x)的最大值为2

C．①④ D．①③

12．已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F

分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A．86?

B．46?

C．26?

D．6?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?3(x?x)e在点(0，0)处的切线方程为____________．

214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1?，a4?a6，则S5=____________．

2x1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前

期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y216．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线

abuuuruuuruuuruuuur分别交于A，B两点．若F1A?AB，F1B?F2B?0，则C的离心率为____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．

（1）求A；

（2）若2a?b?2c，求sinC． 18．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 19．（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． 2uuuruuur（2）若AP?3PB，求|AB|．

20．（12分）

已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明： （1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点． 21．（12分）

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈

?2

且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中

a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，??0.8．

(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列； (ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

?1?t2x?，?2?1?t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的?y?4t?1?t2?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?cos??3?sin??11?0． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）

111???a2?b2?c2； abc333（2）(a?b)?(b?c)?(c?a)?24．

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学?参考答案

一、选择题

1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D 二、填空题

13．y=3x 三、解答题

14．

121 315．0.18 16．2

17．解：（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．

b2?c2?a21?． 由余弦定理得cosA?2bc2因为0??A?180?，所以A?60?．

?（2）由（1）知B?120?C，由题设及正弦定理得2sinA?sin?120??C??2sinC，

即

6312?cosC?sinC?2sinC，可得cos?C?60????． 2222?由于0?C?120?，所以sin?C?60???2，故 2sinC?sin?C?60??60??

?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60? ?6?2． 418．解：（1）连结B1C，ME．

因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=

1B1C． 21A1D． 2又因为N为A1D的中点，所以ND=

PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．

以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则

uuur

uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，AM?(?1,3,?2)，1uuuuruuuurA1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．

uuuur??m?A1M?0m?(x,y,z)AMAuuur设为平面1的法向量，则?，

??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．

???4z?0．uuuur??n?MN?0，n?(p,q,r)AMN r设为平面1的法向量，则?uuuu??n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．

???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为

19．解：设直线l:y?3x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． 2（1）由题设得F?35?3?,0?，故|AF|?|BF|?x1?x2?，由题设可得x1?x2?．

22?4?3?12(t?1)?y?x?t22x?x??由?，可得9x?12(t?1)x?4t?0，则1． 2292??y?3x从而?12(t?1)57?，得t??． 928

所以l的方程为y?37x?． 28uuuruuur（2）由AP?3PB可得y1??3y2．

3??y?x?t2由?，可得y?2y?2t?0． 22??y?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3． 代入C的方程得x1?3,x2?1． 3故|AB|?413． 320．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11，g'(x)??sinx?. 2(1?x)1?x当x???1,设为?.

?????????1,时，单调递减，而，可得在g'(x)g'(x)g'(0)?0,g'()?0???有唯一零点，

22?2??则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，

2??2?????即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.

2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).

（i）当x?(?1,0]时，由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.

??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，

22????

?????????所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当x???,?f'???0，

?2??2??2????时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减.

?2?????????????

又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在?0,?

?2??2??2??2?

没有零点.

??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而

?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.

?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.

21．解：X的所有可能取值为?1,0,1.

P(X??1)?(1??)?， P(X?0)????(1??)(1??)，P(X?1)??(1??)，所以X的分布列为

（2）（i）由（1）得a?0.4,

b?0.5,c?0.1.

因此pi=0.4pi?1+0.5 pi+0.1pi?1，故0.1?pi?1?pi??0.4?pi?pi?1?，即

pi?1?pi?4?pi?pi?1?.

又因为p1?p0?p1?0，所以?pi?1?pi?(i?0,1,2,L,7)为公比为4，首项为p1的等比数列． （ii）由（i）可得

48?1p8 ?p8?p7?p7?p6?L?p1?p0?p0 ??p8?p7???p7?p6??L??p1?p0??p1 .

3

由于p8=1，故p1?3，所以 84?144?11p4 ??p4?p3???p3?p2???p2?p1???p1?p0??p1 ?.

3257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治

愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4?常小，说明这种试验方案合理.

1?0.0039，此时得出错误结论的概率非257221?t24t2?y??1?t?2?1，且x?????22．解：（1）因为?1???1，所以C的直角坐标方程为2?221?t221?t?????1?t?2y2x??1(x??1).

42l的直角坐标方程为2x?3y?11?0.

（2）由（1）可设C的参数方程为??x?cos?,（?为参数，?π???π）.

?y?2sin?π??4cos?????11|2cos??23sin??11|3???C上的点到l的距离为.

77当???π?2π?时，4cos?????11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3?3?22222223．解：（1）因为a?b?2ab,b?c?2bc,c?a?2ac，又abc?1，故有

a2?b2?c2?ab?bc?ca?所以

ab?bc?ca111???.

abcabc111???a2?b2?c2. abc（2）因为a, b, c为正数且abc?1，故有

(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?33(a?b)3(b?c)3(a?c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c)

?3?(2ab)?(2bc)?(2ac)

=24.

所以(a?b)?(b?c)?(c?a)?24.

333