初中数学竞赛试题汇编

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题

（本卷满分120分，考试时间120 分钟）

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分．

1. 从长度是2cm，2cm，4cm，4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ）

A．1 B．1 C．1 D．1

4A N B （第2M 题图） 2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN 于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（ ）

A．38 B．39 C．40 D. 41

32C

3．已知xy?1，且有5x2?2011x?9?0，9y2?2011y?5?0，则的值等于（ ） A．

59xyB． C．?9520112011 D．? 594．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角边为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜

（第4题图） 三角形的三线的阴影图中两个弓形

形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）

A．6

B. 7 C．8

D．9

b2b2c是△ABC的三边长，5．设a，二次函数y?(a?)x2?cx?a?在x?1时取最小值?b，b，

85则△ABC是（ ）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按 照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元已依次存入数 据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存入 数据e，d，c，取出数据的顺序是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出5 （1） （第6题图） 个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）

A．5种

B．6种

C．10种 D．12种

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7．若x2?2x?1?4?0，则满足该方程的所有根之和为 . 8．（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为 ．

8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

2FG? ． AF2a4?3xa2?229．已知a?a?1?0，且3，则x? ． ??23a?2xa?a10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件．

11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45o，∠A=60o，CD=4m，BC=(46?22)m，则电线杆AB的长为 12．实数x与y，使得x?y，x?y，xy，四个数中的三个有相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)为 ．

CxyD C 三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分）

EA F13.（本题满分20分） D E G已知：(x?a)(x?b)?(x?b)(x?c)?(x?c)(x?a)是完全平方式．求证： a?b?c．

B C BA B AD (第11题图)

14.（本题满分OA = 6（第8题图A）20 分）如图，将（第8题图B） ，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，

动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．

（1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ； （2）记△OMP的面积为S，求S关系式（0 < t < 6）；并求t为何最大值？

（3）试探究：当S有最大值时，否存在点T，使直线MT把△ONC分形和四边形两部分，且三角形的面

13OCyy与t的函数

BNBC值时，S有

PMAxO（备用图）

Ax(第14题图)

在y轴上是割成三角积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

15.（本题满分20分）

对于给定的抛物线y?x2?ax?b，使实数p，q适合于ap?2(b?q).（1）证明：抛物线y?x2?px?q通过定点；

（2）证明：下列两个二次方程，x2?ax?b?0与x2?px?q?0中至少有一个方程有实数根.

2013年全国初中数学竞赛试题

考试时间 2013年3月17日 9：30－11：30 满分150分

题 号 一 1~5 得 分 评卷人 复查人 答题时注意：

1.用圆珠笔或钢笔作答；

2.2.解答书写时不要超过装订线； 3.3

二 6~10 三 11 12 13 14 总分 草稿纸不上交。

一、选择题（共5个小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1.设非零实数a、b、c满足?12?a?2b?3c?0ab?bc?ca，则2的值为（ ） 22a?b?c?2a?3b?4c?012(A) - ( B) 0 (C) (D) 1

2.已知a、b、c是实常数，关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0有两个非零实根，则下列关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0中，以

11，为两个实根的是（ ） 2x12x2(A) c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 ( B) c2x2?(b2?2ac)x?a2?0

(C)c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 (D) c2x2?(b2?2ac)x?a2?0 3，如图，在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点，垂足为D，DE⊥OC,垂足为E，若AD，DB，CD的长度数，则线段OD、OE、DE，AC的长度中，不一定是有．．．（ ）

(A) OD ( B) OE (C) DE (D) AC

4、如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点BC=4AF，DCFE是平行四边形，则图阴影部分(△BDE+△（ ）。

BCFACCD⊥AB,都是有理

EOB理数的为

ADF在线段BC上，且

DEADE)的面积为

A(A) 3 ( B) 4 (C) 6 (D) 8

5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：3x3?3x2y2?xy3?45，且x*y*z?(x*y)*z，则x*y?(x?1)3?(y?1)3?60EDF2013*2012*……*3*2的值为（ ） (A)

BC6071821546316389 ( B) (C) (D) 967967967967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6.设a?33，b是a2的小数部分，则(b?2)3的值为 ７.如图，点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5则四边形AEFD的面积是 。

８.已知正整数a、b、c满足a?b2?2c?2?0，3a2?8b?c?0，则abc的最大值为 。

９.实数a，b，c，d满足：一元二次方程x2?cx?d?0的两根为a，b，一元二次方

c，程x2?ax?b?0的两根为c，则所有满足条件的数组（a，为 。 d，b，d）

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元。开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔。

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11.如图，抛物线y?ax2?bx?3，顶点为E，该

D 抛物线直

A O B x与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA。1y??x?1与y轴交于点D，求∠DBC-∠CBE.

3线

12.、设△ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，共圆，对于所有的△ABC，求 ∠BAC所有可能的度数。

C E C，H，O

13.设a，b，c是素数，记x?b?c?a，y?c?a?b，z?a?b?c，当z2?y，x?y?2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论。

14.如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术

,an，满足任意一个正整数数），求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1 a2? ,an中都至少有一个为的m魔术数。 m，在a1 a2? 2013年全国初中数学联赛江西预赛试题

时间：2013年3月10日上午9：00－11：30 一、选择题（每小题7分，共6题，计42分）

224m?5mn?6nmn?,且m、n1、若同号，则2的值是（ ） 22n3m?5nm?2mn?3nA、7 B、6 C、5 D、4

2、若△ABC中，AB＝6?2，BC=2, △ABC的面积是1，若∠B是锐角，则∠ACB的度数是（ ） A、30° B、45° C、60° D、75°

223、若a，ab≠1, 则?7a?9?0,b?7b?9?0b?aa的值为b（ ）