2016年北京市西城区高三二模理科数学试卷含答案

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所以EF?平面DFA. ??????2分

又因为DG?平面DFA，

所以DG?EF. ??????4分

（Ⅱ）解：因为?DFA?60?，DF?FA，AG?GF，所以?DFA为等边三角形，且DG?FA. 又因为DG?EF，EF?FA?F，

所以DG?平面ABEF. ??????5分

设BE的中点为H，连接GH，则GA,GH,GD两两垂直，故以GA,GH,GD分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则G(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,4,0)，C(0,4,3)，F(?1,0,0)，

所以GA?(1,0,0),BC?(?1,0,3)，BF?(?2,?4,0). ??????6分

设平面BCF的一个法向量为m?(x,y,z)，

??????????????????????x?3z?0,

由m?BC?0，m?BF?0，得????2x?4y?0, 令z?2，得m?(23,?3,2). ??????7分设直线GA与平面BCF所成角为?，

z D C F E G H A B y ???|m?GA|257则sin??|cos?m,GA?|?. ???????|m||GA|1925719x 即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为分

. ??????9

（Ⅲ）由题意，可设P(0,0,k)(0≤k≤3)，FQ??FC(0≤?≤1)，由FC?(1,4,3)，得FQ?(?,4?,3?)，

???????????????? 所以Q(??1,4?,3?)，PQ?(??1,4?,3??k). ??????10分

由（Ⅱ），得GD?(0,0,3)为平面ABEF的法向量. 因为PQ//平面ABEF，

????

???????????? 所以PQ?GD?0，即3??k?0. ??????11

分

所以|PQ|?????222(??1)2?(4?)2?(3??k)2=(??1)?(4?)?17??2??1，

??????12分

又因为17?2?2??1?17(??117117117)2?1617，

所以当??时，|PQ|min?????41717.

所以当??分

，k?317时，线段PQ长度有最小值41717. ??????14

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：函数y?f(x)的定义域D?{x|x?R且x??a}， ??????1分

由题意，f?(0)有意义，所以a?0.

(x?a)2?(x?a)?2(x?a)(x?a)?(x?3a)??. ??????3求导，得f?(x)?(x?a)4(x?a)4分

3a2由题意，得f?(0)?4?3，解得a??1.

a验证知a??1符合题意. ??????5分

（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f(x2)?f(x1)”等价于“f(x)不存在最 ??????6小值”．分

① 当a?0时，由f(x)?分

② 当a?0时，令f?(x)??分

随着x的变化时，f?(x)与f(x)的变化情况如下：

1，得f(x)无最小值，符合题意． ??????7x(x?a)?(x?3a)?0，得x??a 或 x?3a. ??????8

(x?a)4x (??,?a) ?a (?a,3a) 3a (3a,??) f?(x) f(x) ? ↘ 不存在不存在 ? ↗ 0 极大 ? ↘ 所以函数f(x)的单调递减区间为(??,?a)，(3a,??)，单调递增区间为(?a,3a)．

??????9

分

因为当x?a时，f(x)?x?a?0，当x?a时，f(x)?0，

(x?a)2所以只要考虑x1?(??,a)，且x1??a即可．当x1?(??,?a)时，

由f(x)在(??,?a)上单调递减，且x1?x1?得f(x1)?f(x1?1|x1?a|)， 21|x1?a|，使得f(x2)?f(x1)，符合题意； 21|x1?a|， 21|x1?a|??a， 2所以存在x2?x1?同理，当x1?(?a,a)时，令x2?x1?

得f(x2)?f(x1)，也符合题意；

故当a?0时，对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f(x2)?f(x1)成立．???11分

③ 当a?0时，

随着x的变化时，f?(x)与f(x)的变化情况如下表：

x (??,3a) 3a (3a,?a) ?a (?a,??) f?(x) f(x) ? ↘ 0 极小 ? ↗ 不存在不存在 ? ↘ 所以函数f(x)的单调递减区间为(??,3a)，(?a,??)，单调递增区间为(3a,?a)．

因为当x?a时，f(x)?所以f(x)min?f(3a)．

所以当x1?3a时，不存在x2使得f(x2)?f(x1)．

综上所述，a的取值范围为a?[0,??). ??????13分

19．（本小题满分14分）

?4a?42, ??????2分（Ⅰ）解：由题意，得：????b?c,x?a?0，当x?a时，f(x)?0，

(x?a)2 又因为a2?b2?c2

解得a?2，b?1，c?1， ??????4分

x2 所以椭圆C的方程为?y2?1. ??????5分

2（Ⅱ）解：（方法一）

当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x?0，此时E，F为椭圆的上下顶点，且EF?2，

因为点D(0,?m)总在以线段EF为直径的圆内，且m?0，

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