第61讲 立体几何中的综合问题(向量法、几何法综合)
夯实基础 【p139】
【学习目标】
1．能根据题目条件灵活选择用几何法或向量法解决问题．
2．会分析探究立体几何中位置关系问题和几何量的取值问题，培养探究思维能力． 【基础检测】
1．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直
【解析】对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB，则有CD⊥AC，而AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，可得AC＝1，那么存在AC这样的位置，使得AB⊥CD成立．
【答案】B
2．如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
A．直线B．抛物线 C．椭圆D．双曲线的一支
【解析】利用平面截圆锥面直接得轨迹．
因为∠PAB＝30°，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆．
【答案】C
3．(1)三角形的一边BC在平面α内，l⊥α，垂足为A，A?BC，P在l上滑动，点P不同于A，若∠ABC是直角，则△PBC是________三角形；
(2)直角三角形PBC的斜边BC在平面α内，直角顶点P在平面α外，P在平面上的射影为A，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【解析】(1)如图，∵PA⊥平面ABC，
1
∴PA⊥BC，又∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB， ∴BC⊥平面PAB，∴∠PBC＝90°.
(2)如图，PB＋PC＝BC，AB＜PB，AC＜PC，所以AB＋AC＜BC，故∠BAC为钝角． 【答案】(1)直角；(2)钝角
4．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15 m，AC＝25 m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)
2
2
2
2
2
2
【解析】先利用解三角形知识求解，再利用确定函数最值的方法确定最值． 如图，过点P作PO⊥BC于点O，连接AO，则∠PAO＝θ. 设CO＝x m，则OP＝
3
x m. 3
在Rt△ABC中，AB＝15 m，AC＝25 m， 4
所以BC＝20 m．所以cos∠BCA＝. 5所以AO＝
422
625＋x－2×25x×＝x－40x＋625(m)．
5
3x3
33406251－＋2
xx
所以tanθ＝＝2
x－40x＋625
＝
33
2
. ?25－4?＋9?x5?25??
2
3
353254125
当＝，即x＝时，tanθ取得最大值为＝. x5439
553
【答案】 9【知识要点】 1．折叠问题
(1)将平面图形按一定规则折叠成立体图形，再对立体图形的位置和数量关系进行论证和计算，这就是折叠问题．
(2)处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系．
(3)要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化．一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折线两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化．不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理．
2．探究性问题
(1)若某几何量或几何元素的位置关系存在时，某点或线或面应具备何种条件的问题，就是立体几何中的探究性问题．
(2)探究性问题的题设情境通常就是“是否存在”，其求解策略是：①观察——猜想——证明；②赋值推断；③类比联想；④特殊——一般——特殊．
典例剖析 【p139】
考点1 线面位置关系的证明
例1在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
【解析】(1)如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
3
?a?设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E?a，，0?，P(0，?2??aaa?0，a)，F?，，?. ?222?
a?→→?a
EF＝?－，0，?，DC＝(0，a，0)．
2??2→→→→
∵EF·DC＝0，∴EF⊥DC，即EF⊥CD.
aa?→?a
x－，－，z－(2)设G(x，0，z)，则FG＝??，
22??2若使GF⊥平面PCB，则
aa?→→?a
由FG·CB＝?x－，－，z－?·(a，0，0)
22??2a?a?＝a?x－?＝0，得x＝； 2?2?
aa?→→?a
由FG·CP＝?x－，－，z－?·(0，－a，a)
22??2
2
a?a?＝＋a?z－?＝0，得z＝0. 2?2?
?a?∴G点坐标为?，0，0?，即G点为AD的中点．
?2?
考点2 空间角与距离的求法
例2如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝23，求点A到平面MBC的距离．
【解析】如图，取CD的中点O，连接OB，OM.
4
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