2．4 第一课时 正态分布
一、课前准备 1．课时目标
(1) 理解正态分布的定义； (2) 了解正态分布图像的性质；
(3) 能利用正态分布图像的对称性求概率． 2．基础预探
1．如果随机变量X的概率密度函数为?u,?(x)?1e2???(x?u)22?2,x????,???，其中实数u和?（?＞0）为参数.我们称?u,?(x)的图象为_____________曲线，简称_____曲线. 2．一般地，如果对于任何实数a?b，随机变量X满足P(a?X?b)??ba??,?(x)dx，则
称X的分布为正态分布.正态分布完全由参数?和?确定，因此正态分布常记作________. 3.如果随机变量X服从正态分布，则记为X～______________.把_____________的正态分布叫做标准正态分布. 二、学习引领
1．现实生活中有哪些正态分布
在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等，一般都服从正态分布.所以，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中. 一般地，参数?是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；?是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. 2．正态曲线的特点
（1）曲线位于ｘ轴上方，与ｘ轴不相交，故此曲线以ｘ轴为渐近线，函数的值域为正实数集的子集；
（2）曲线是先增后减，以直线x??为对称轴，在x??处达到最大值1；
?2?（3）曲线与ｘ轴之间的面积为1；
（4）当σ一定时，曲线随着?的变化而沿ｘ轴平移；当?一定时，曲线的对称轴位置固定，但形状由σ确定： σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 3．利用正态曲线的对称性求概率的步骤
①根据正态密度函数的性质或者均值得到对称轴x??，做出函数的草图；
②观察已知的概率值与要求的概率值在图像上对应的部分是否具备某种对称关系； ③利用性质：正态密度曲线下方，x轴上方之间的总面积为1，通过适当的运算得到需
要的概率值.
例如：我们可用标准正态总体N（0,1）求概率值的过程来说明这种对称性.
如图，P(X?x0)的概率值为阴影部分的面积：
根据正态密度函数的性质可知：
P(X?x0)+P(X?x0)=1.
易知，非阴影部分的概率值为P(X?x0)?1?P(X?x0).
根据标准正态曲线关于ｙ轴对称，所以P(X??x0)?P(X?x0)?1?P(X?x0).
.
当然，通过其它的一些对称，还可以得到更复杂的性质.同样的，对称轴为?的正态分布也具备类似的性质，只不过对称轴位置不同而已. 三、典例导析
题型一 正态曲线的特点
例1 设三个正态分布N?1,?12、N?2,?22????、N??,??(?,?23312,?3?0)的密度函数图
象如图所示，则?1、?2、?3按从小到大的顺序排列是__ _____；?1、?2、?3按从小到．．．．．．．大的顺序排列是 . ．
思路导析：正态曲线的对称轴为x??，形状的“胖瘦”由?确定，观察图像即可知其取值特点.
解析：由于正态曲线对称轴为x??，所以?2??1??3；当?一定时，曲线的形状由?确
2
定．?越小，曲线越“高瘦”；?越大，曲线越“矮胖”，所以?1??3??2. 所以填?2??1??3；?1??3??2．
方法规律：解决正态曲线问题应抓住图像的特点：曲线关于直线x=?对称，因此位置由数学期望?确定；形状的“胖瘦”由方差?确定，可简记为“大胖小瘦”.
变式训练：如图是三种不同的正态曲线N(0，?)的图象，那么?1、?2、?3的大小关系是( )
A． ?1?1??2??3?0 B． 0??1??2?1??3 C． ?1??2?1??3?0 D．0??1??2?1??3
题型二 正态曲线的对称性
例2 已知随机变量?服从正态分布N(2,?),P(??4)?0.2,则P(??0)?（ ） A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.2
思路导析：作出正态分布N(2,?)的草图，观察P(??4)与P(??0)的对称关系便可得到相应的概率值.
解：因为随机变量?服从正态分布N(2,?)，所以正态分布的图象关于x=2 对称，其图象如图所示，
2222
所以P(??0)?P(??4)?0.2，故选D．
规律总结：求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率值的区间，一般要利用数形结合的思想去解决．利用正态图象的对称性，可避免复杂的计算，简化解题过程．
变式训练：已知?服从正态分布N(0,?)，且P(?4???4)?0.6，则P(??4)? .
题型三 概率密度函数的性质
2 3
1?x2e(x?R). 例３ 标准正态分布的概率密度函数是f(x)?2?（1）求证：f(x)是偶数函数；
（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性; （3）求f(x)的最大值.
思路导析：标准正态分布函数与指数函数比较密切，我们可以借助研究指数函数的方法来研究它.
x)1?(?21?x2e?e?f(x)， 解：（1）对任意x?R，有f(?x)?2?2?222所以f(x)是偶数函数.
（2）任取x1?0,x2?0，且x1?x2，有x12?x22，所以e即当ｘ＜0时，f(x)是递增的。
又f(x)是偶数函数，由偶函数性质知，当ｘ＞0时，f(x)是递减的. （3）由（2）知f(x)关于x=0对称，且左增右减。 故当x?0时，ex22?2x12?e?2x22，所以f(x1)?f(x2).
取最小值，此时f(x)?1?x2e取得最大值. 2?2规律总结：本题利用指数函数的性质对标准正态函数进行了研究,从而对正态函数有了更深刻的了解，对以后的解题有很大的帮助.
变式训练：某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为间[-4，-2]的概率.
四、随堂练习
1.下列是正态密度函数的是( ). A.f(x)?122?，求总体位于区
1e2??(x??)22?2
B.f(x)?2?e2??x22
1C. f(x)?e22?(x?1)24
1D.f(x)?e2
2?x2
2．在某校高二期中考试中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众
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多，成绩分布的直方图可视为正态分布）， 则下列说法中正确的一个是（ ）.
A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 3. 正态分布密度函数为??,?(x)?分别是( ).
A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和2
24. 已知随机变量?服从正态分布N(2，?)， P(?≤4)?0.84，则P(?≤0)=______.
18?e?x28，x?(??,??)，则总体的平均数和标准差
5.设随机变量X服从正态分布N(?,?)，且P(X?c)?2P(X?c)?p，那么
2p=__________．
6.设随机变量X服从N（0，1）,记P(X?x0)??(x0)??x0???(x)dx.已知?(1.44)?0.9251,
求下列各式的值：（1）?(?1.44)； （2）P(|X|<1.44).
五、课后作业
1.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b，下列说法中不正确的是（ ）.
A.曲线b仍然是正态曲线.
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等.
C.以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2. D.以曲线b为正态分布的总体的期望比以曲线a为正态分布的总体的期望大2.
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2. 已知随机变量x服从正态分布N(μ，σ)，且P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，若μ＝4，σ＝1，则P(5＜x＜6)＝( ). A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718 3.关于正态曲线，下列说法正确的是 . ①?(x)?12??e?(x??)22?2曲线上任一点M(x0,y0)的纵坐标y0表示X=x0的概率；
②
?a???(x)dx表示总体取值小于a的概率；
③正态曲线在x轴上方且与x轴一定不相交；
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