2020-2021学年最新山东省聊城市中考数学全真模拟试卷及答案 

九年级中考数学全真模拟试卷

一、单选题

1.﹣2017的倒数是（ ） A.B.﹣C.2017 D.﹣2017 【答案】B

【考点】有理数的倒数

【解析】【解答】根据乘积为1的两数互为倒数，可知-2017的倒数为﹣故答案为：B.

【分析】根据乘积为1的两数互为倒数，即可得出判断。

2.如图，直线l1∥l2，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上，顶点A在l2上，若∠β=14°，则∠α=（ ）

.

A. 31° B. 45° C. 30° D. 59° 【答案】A

【考点】平行线的判定与性质

【解析】【解答】解：过点B作BE∥l1．如图，

∵l1∥l2，∴BE∥l1∥l2，∴∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∴∠α=∠CBE=∠ABC﹣∠EBA=31°．故答案为：A．

【分析】过点B作BE∥l1，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出BE∥l1∥l2，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBE=∠α，∠EBA=∠β=14°．根据等腰直角三角形的性质及角的和差即可得出答案。 3.将0.000 102用科学记数法表示为（ ）

﹣4﹣5﹣6﹣3

A. 1.02×10 B. 1.02×I0 C. 1.02×10 D. 102×10

【答案】A

【考点】科学记数法—表示绝对值较小的数

【解析】【解答】解：0.000 102=1.02×10．故答案为：A．【分析】用科学记数法表示一个绝对值较小的

﹣4

数，一般表示为a×10的形式，其中1≤|a|＜10, n是原数从左边起第一个非零数字前面的所有0的个数，

－n

包括小数点前面的0.

4.点P（x﹣1，x+1）不可能在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D

【考点】解一元一次不等式组，点的坐标与象限的关系 【解析】【解答】

①x-1＞0, x+1＞0 ，解得x＞1，故x-1＞0，x+1＞0，点在第一象限； ② x-1＜0 ,x+1＜0 ，解得x＜-1，故x-1＜0，x+1＜0，点在第三象限； ③x-1＞0 ,x+1＜0 ，无解；

④ x-1＜0 ,x+1＞0 ，解得-1＜x＜1，故x-1＜0，x+1＞0，点在第二象限． 故点P不能在第四象限，故答案为：D．

【分析】根据点在坐标平面的象限内的坐标特点，本题可以转化为解4个不等式组的问题，看那个不等式组无解，即可得出答案。

5.如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是（ ）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】B

【考点】认识立体图形

【解析】【解答】球的三视图均为圆、正方体的三视图均为正方形，而圆柱体和圆锥的三视图不完全相同， 故答案为：B．

【分析】本题考查的是从不同方向看几何体，根据各几何体的三视图可知，球的三视图均为圆，圆柱的三视图为矩形和圆，圆锥的三视图为三角形和圆，正方体的三视图均为正方形，故符合要求的是圆柱和圆锥。

6.在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三者都有可能 【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：设直线经过的点为A，

∵点A的坐标为（sin45°，cos30°）， ∴OA=

∵圆的半径为2， ∴OA＜2， ∴点A在圆内， ∴直线和圆一定相交， 故答案为：A．

【分析】设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,直线与圆的位置关系有三种;当dd

r，直线与圆相切；当d

离d与半径r比较大小即可判断选项A符合题意。 7.已知函数y=ax+bx+c，当y＞0时，

2

= ，

r，直线与圆相离；当

r，直线与圆相交。根据已知条件求出直线经过的点与圆心的距离d，再将距

．则函数y=cx﹣bx+a的图象可能是下图中的（ ）

2

A. B. C. D.

【答案】A

【考点】二次函数图像与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：因为函数y=ax+bx+c，当y＞0时，=﹣

2

2

，所以可判断a＜0，可知：﹣=﹣+

2

=﹣× =﹣，所以可知a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1，则函数y=cx﹣bx+a为函数

y=x+x﹣6，即y=（x﹣2）（x+3），则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0）．故答案为：A．【分析】根据函数y=ax+bx+c，当y＞0时， ?

22

< x < ，所以可判断a＜0。根据二次函数与一元二次方程之

间的关系得出ax+bx+c=0的两个根为-与，根据根与系数之间的关系得出-2

-+=-,=-×=-,从而得出a=6b，a=﹣6c，则b=﹣c，不妨设c=1，则函数y=cx﹣bx+a为函2

数y=x+x﹣6，即y=（x﹣2）（x+3）即可判断出函数与x轴的两个交点的坐标，从而得出答案。

8.如图，是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是（ ）

A. B. 【答案】B

C. D.

【考点】列表法与树状图法，概率公式

【解析】【解答】解：如图，

共15种情况，和为偶数的情况数有7种，所以和为偶数的概率为．故答案为：B．

【分析】根据题意，同时转动两个转盘，其实质可以看成一个转盘转动两次，根据题意，列出树状图，由图知：共15种情况，和为偶数的情况数有7种，根据概率公式即可得出答案。 9.已知方程x+2x﹣1=0的两根分别是x1， x2，则

2

=（ ）

A. 2 B. ﹣2 C. ﹣6 D. 6 【答案】A

【考点】代数式求值，一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：根据题意得：x1+x2=－2，x1x2=﹣1，所以

+

=

=

=2．故答案为：A．【分

析】根据一元二次方程根与系数之间的关系得x1+x2=－2，x1x2=﹣1，再按照异分母分式的加法算出两分式的和，最后整体代入即可得出答案。

10.如图，下列图形均是完全相同的点按照一定的规律所组成的，第①个图形中一共有3个点，第②个图形中一共有8个点，第③个图形中一共有15个点，…，按此规律排列下去，第9个图形中点的个数是（ ）

A. 80 B. 89 C. 99 D. 109 【答案】C

【考点】探索数与式的规律

【解析】【解答】由图分析可知：第1幅图中，有（1+1）-1=3个点，第2幅图中有（2+1）-1=8个点，第3幅图中有（3+1）-1=15个点， ∴第9幅图中，有（9+1）-1=99个点. 故答案为：C.

【分析】由图分析可知：第1幅图中，有（1+1）-1=3个点，第2幅图中有（2+1）-1=8个点，第3幅图中有（3+1）-1=15个点，从而发现规律第n个图形有（n+1）-1个点；然后将n=9代入计算即可。

2

2

2

2

2

2

2

2

二、填空题

11.2+ 【答案】

﹣1

=________．

【考点】实数的运算 【解析】【解答】解：原式=

=

．故答案为：

．【分析】根据负指数的意义，二次根

式的除法法则分别化简，再按有理数的加法算出结果。

12.如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为________．

【答案】40°、20°、100°

【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：①根据题意，画出图（1），

在△QOC中，OC=OQ，∴∠OQC=∠OCP， 在△OPQ中，QP=QO，∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°， 整理得，3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°． ②当P在线段OA的延长线上（如图2）

∵OC=OQ，∴∠OQP=（180°-∠QOC）× ①， ∵OQ=PQ，∴∠OPQ=（180°-∠OQP）× ②， 在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③， 把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，

∵∠OQP=∠QCO，∴∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，

∴∠QOC=20°，则∠OQP=80°∴∠OCP=100°； ③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），

∵OC=OQ，∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）× ①， ∵OQ=PQ，∴∠P=（180°-∠OQP）× ②， ∵∠AOC=30°，∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④联立得∠P=10°， ∴∠OCP=180°-150°-10°=20°． 故答案为：40°、20°、100°．

【分析】①根据题意，画出图（1），根据等边对等角得出∠OQC=∠OCP，∠QOP=∠QPO，根据三角形的外角定理得出QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，根据三角形的内角和定理得出∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，求解即可得出∠OCP的大小；②当P在线段OA的延长线上（如图2）根据等腰三角形的性质得∠OQP=（180°-∠QOC）× 1 2 ①，∠OPQ=（180°-∠OQP）× 1 2 ②，根据三角形的内角和得出30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，把①②代入③得：60°+∠QOC=∠OQP，根据三角形的内角和得出∠QOC+2∠OQP=∠QOC+2（60°+∠QOC）=180°，求解得出∠QOC=20°，则∠OQP=80°故∠OCP=100°；③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），根据等腰三角形的性质得出× 1 2 ①，∠P=× 1 2 ②，根据平角的定义得出∠COQ+∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）（180°-∠OQP）∠POQ=150°③，∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，①②③④联立得∠P=10°，根据角的和差得出∠OCP的度数。

13.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，则折痕EF的长为________

【答案】

【考点】矩形的性质，翻折变换（折叠问题）

【解析】【解答】解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，

根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM= ∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠NBD=∠ADB， ∴BN=DN，

设AN=x，则BN=DN=4﹣x， ∵在Rt△ABN中，AB+AN=BN， ∴3+x=（4﹣x）， ∴x= 即AN=

， ，

2

2

2

2

2

2

AD，∠FMD=∠EMD=90°，

∵C′D=CD=AB=3，∠BAD=∠C′=90°，∠ANB=∠C′ND， ∴△ANB≌△C′ND（AAS）， ∴∠FDM=∠ABN， ∴tan∠FDM=tan∠ABN， ∴∴∴MF=

， ， ，

由折叠的性质可得：EF⊥AD， ∴EF∥AB， ∵AM=DM， ∴ME=

AB=

， + ．

=

．

∴EF=ME+MF= 故答案为：

【分析】首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．

14.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为________米．

【答案】14+2

【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形

【解析】【解答】如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．

∵∠DCE=30°，CD=8米， ∴CE=CDcos∠DCE=8× ∴DE=4米， 设AB=x，EF=y， ∵DE⊥BF，AB⊥BF， ∴△DEF∽△ABF， ∴

，即

①， （米），

∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得， =

…②，

（米）．

①②联立，解得x=14+2

【分析】这是一道解直角三角形的应用型问题，所以先将图形补充完整。延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．在直角三角形CDE中，用∠DCE的余弦可求得CE的长，则DE的长可求，设AB=x，EF=y，由题意易得△DEF∽△ABF，则可得比例式，

,代入则可得关于x、y的方程；再

根据同一时间物高与影长成正比又可得关于x、y的方程；联立解方程组即可得到电线杆的高度。 15.如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，0）B（0，4）把△AOB按如图标记的方式连续做旋转变换，这样得到的第2017个三角形中，O点的对应点的坐标为________．

【答案】（8064，0）

【考点】探索图形规律

【解析】【解答】解：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=

=5，∴△ABC的周长=3+4+5=12．∵△OAB每连续变换3次后与原来的状态一样，

2017÷3=672…1，∴第2017个三角形的直角顶点是第673个循环组第一个三角形的直角顶点，∴三角形2017的直角顶点O的横坐标=672×12=8064，∴三角形2017的直角顶点O的坐标为（8064，0）．故答案为：（8064，0）．【分析】首先根据勾股定理得出AB的长，从而得出△ABC的周长，根据图形观察△OAB每连续变换3次后与原来的状态一样，而2017÷3=672…1，故第2017个三角形的直角顶点是第673个循环组第一个三角形的直角顶点，三角形2017的直角顶点O的横坐标=672×12=8064，从而得出答案。

=

三、解答题

222222

16.（y–z）+（x–y）+（z–x）=（y+z–2x）+（z+x–2y）+（x+y–2z）．求

2

2

2

2

2

2

的值．

【答案】解：∵（y﹣z）+（x﹣y）+（z﹣x）=（y+z﹣2x）+（z+x﹣2y）+（x+y﹣2z）． ∴（y﹣z）﹣（y+z﹣2x）+（x﹣y）﹣（x+y﹣2z）+（z﹣x）﹣（z+x﹣2y）=0，

∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，

∴2x+2y+2z﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0， ∴（x﹣y）+（x﹣z）+（y﹣z）=0． ∵x，y，z均为实数， ∴x=y=z． ∴

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

【考点】代数式求值，因式分解的应用

【解析】【分析】先将等式的右边的各个式子看成一个整体，移到等式的左边，然后利用加法的交换律，把左边变形成一加一减的形式，再利用平方差公式分别分解因式，在每个括号内合并同类项后利用单项式乘以单项式法则去掉括号，再利用拆项，分组分解法，完全平方公式分解因式，再根据几个非负数的和等于0，则这几个数都等于0，将方程降次，得出x,y,z的关系，再代入代数值计算即可得出答案。

17.为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且

，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

组别 成绩（分） 频数（人数） 频率 一 二 三 四 五 2 10 14 a 8 0.04 0.2 b 0.32 0.16 请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有________名学生参加； （2）直接写出表中a=________,b=________; （3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为________。 【答案】（1）50 （2）16；0.28 （3）解：

（4）48%

【考点】频数（率）分布表，频数（率）分布直方图 【解析】【解答】（1）2÷0.04=50 （ 2 ）50×0.32=16 14÷50=0.28 （ 3 ）补全频数分布直方图如下：

（ 4 ）（0.32+0.16）×100%=48%

【分析】（1）成绩在50 ≤ x < 60的人数处于其频率即可得出本次决赛参加学生的总人数；

（2）用本次决赛参加学生的总人数乘以成绩在 80 ≤ x < 90的频率即可得出a的值；用成绩在 70 ≤ x < 80的人数除以本次决赛参加学生的总人数即可得出b的值；

（3）用本次决赛参加学生的总人数分别成绩在 80 ≤ x < 90的人数的频率，即可得出成绩在这个段的人

数，根据人数补全直方图即可；

（4）用本次参加决赛成绩在80 ≤ x < 100分为内的频率乘以百分之百即可得出本次大赛的优秀率。 18.在?ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；

（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB=α（0°＜α＜90°），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）解：证明：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG， ∴∠ABG=∠AEH. 在△ABG和△AEH中，

∴

≌

(ASA).

∴△AGH是等边三角形， ∴AG=HG. ∴EG=AG+BG.

（2）解：如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.作AM⊥EG于点M，

∴BG=EH，AG=AH.

∴∠GAB=∠HAE.

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG， ∴∠ABG=∠AEH. 在△ABG和△AEH中，

∴∵AM⊥EG

EG=GH+BG.

（3）解：

≌

(ASA).

∴BG=EH，AG=AH.

如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.

∴∠GAB=∠HAE.

∴∠ABG=∠AEH. ∵又AB=AE， ∴△ABG≌△AEH. ∴BG=EH，AG=AH.

∴△AGH是等腰直角三角形.

【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.根据等式的性质得出∠GAB=∠HAE.，根据三角形的内角和由∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，得出∠ABG=∠AEH.，然后利用ASA判断出△ABG≌△AEH，根据全等三角形对应边相等得出BG=EH，AG=AH.根据等边三角形的性质由△AGH是等边三角形，得出AG=HG.，根据线段的和差及等量代换得出结论；

（2）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.作AM⊥EG于点M，根据等式的性质得出∠GAB=∠HAE.根据三角

形的内角和由∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，得出∠ABG=∠AEH.，然后利用ASA判断出△ABG≌△AEH，根据全等三角形对应边相等得出BG=EH，AG=AH，根据等腰三角形的三线合一得出GM=MH=GH , ∠GAM=∠HAM=α ， 根据锐角函数的定义得出GM=MH=AG?sin（3） EG=

， EG=GH+BG.从而得出答案EG=2AGsin

+BG.

AG?BG . 如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H.根据等式的性质得出∠GAB=∠HAE.根据四边形

°

的内角和及邻补角的定义得出∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180 . 根据同角的补角相等得出∠ABG=∠AEH.利用ASA判断出△ABG≌△AEH.根据全等三角形的对应边相等得出BG=EH，AG=AH.进而判断出△AGH是等腰直角三角形.根据等腰直角三角形的边之间的关系得出

AG=HG . 从而得出结论。

19.甲、乙两公司各为“希望工程”捐款2000元．已知乙公司比甲公司人均多捐20元，且乙公司的人数是甲公司人数的，问甲、乙两公司人均捐款各多少元？ 【答案】解：设甲公司人均捐款x元

解得：经检验，

为原方程的根， 80+20=100

答：甲、乙两公司人均各捐款为80元、100元。 【考点】分式方程的实际应用

【解析】【分析】此题的等量关系是：乙公司的人均捐款数=甲公司人均捐款数+20；乙公司的人数=甲公司人数的，设未知数列方程，求解即可。

20.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度．

【答案】解：由题意得：∵AE?BE=AB=m米，

(米)， (米)，

∵DE=n米，

(米).

∴该建筑物的高度为：

米

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题

【解析】【分析】利用解直角三角形求出AE、BE的长，再根据AE?BE=AB=m，建立方程，求出CE的长，然后根据CD=CE+DE，即可求解。

21.如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y= ⊥x轴，垂足为C，且S△ABC=5．

的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC

（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y= 【答案】（1）解：把A(2,m),B(n,?2)代入即m=?n, 则A(2,?n)，

过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，

的解集；

图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围． 得：k2=2m=?2n，

∵A(2,?n),B(n,?2)，

∴BD=2?n，AD=?n+2，BC=|?2|=2， ∵

解得：n=?3，

即A(2,3),B(?3,?2)， 把A(2,3)代入

得：

得：

即反比例函数的解析式是把A(2,3),B(?3,?2)代入解得：

即一次函数的解析式是y=x+1 （2）解：∵A(2,3),B(?3,?2)， ∴不等式

的解集是?32

，实数p的取值范围是

，

（3）解：分为两种情况：当点P在第三象限时,要使当点P在第一象限时,要使即P的取值范围是

或p>0

，实数p的取值范围是P>0，

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）根据双曲线上点的坐标特点将A,B两点的坐标分别代入双曲线的解析式即可得出m=?n,过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，根据A,B两点的坐标得出BD=2?n，AD=?n+2，BC=|?2|=2，由三角形的面积公式由 S△ABC=BC ? BD=5 , 从而得出关于n的方程，求解得出n的值；A,B两点的坐标，进而得出反比例函数的解析式；利用待定系数法，即可求出直线的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数的图形，求不等式的解集，首先弄清谁大谁小，谁大就找谁的图像在上方时，自变量的取值范围即可；注意双曲线不能与坐标轴相交的限制条件；

（3）根据双曲线的图像与比例系数之间的关系知，由于k＞0故此双曲线的两支分别位于第一，三象限，在每一支上，y随x的增大而减小；所以此题分两种情况：当点P在第三象限时,要使 y 1 ≥ y 2 ，实数p的取值范围是 p ≤ ? 2 ，当点P在第一象限时,要使 y 1 ≥ y 2 ，实数p的取值范围是P>0。 22.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB．

2

（1）求证：AP为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；

（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵BD=BC， ∴∠BDC=∠BCD，

∵∠P=∠BCD，∠BAC=∠BDC， ∴∠P=∠BAC， ∵AC是直径， ∴∠ABC=∠ABP=90°， ∴∠P+∠BAP=90°， ∴∠BAP+∠BAC=90°， ∴∠OAP=90°， ∴OA⊥PA， ∴PA是⊙O的切线

（2）解：①当∠OED=90°时，CB=CD=BD，△ABC是等边三角形，可得∠ACB=30°， ∵AC=2， ∴AB=1，BC= ∴S△ABC=

．

，

，

②当∠DOE=90°时，易知∠AOB=45°，△ABC的AC边上的高= ∴S△ABC=

（3）解：∵BD=BC，OD=OC，BO=BO， ∴△BOD≌△BOC， ∴∠OBD=∠OBC， ∵OB=OD=CO，

∴∠OBD=∠OBC=∠ODB=∠OCB， ∵∠ADB=∠OCB， ∴∠ADB=∠OBD， ∴AD∥OB， ∴△AED∽△OEB， ∴∵

∴=（）， ∴b=ac．

【考点】切线的判定，圆的综合题，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据等边对等角及已知条件证明∠P=∠BAC，再根据圆周角定理证明∠ABP=90°，然后证明∠OAP=90°，即可证得结论。

（2）分两种情况讨论①当∠OED=90°时；②当∠DOE=90°时；分别求出△ABC的面积即可。

（3）先证明△BOD≌△BOC，得出∠OBD=∠OBC，再证明∠ADB=∠OBD，得出AD∥OB，根据平行得三角形相似，然后根据相似三角形的性质，得出相似三角形的面积比等于相似比的平方，可证得结论。 23.已知，抛物线y=ax+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

2

2

2

， ，

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）； （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围． 【答案】（1）解：∵抛物线∴a+a+b=0，即b=?2a，

∴抛物线顶点D的坐标为

有一个公共点M(1,0)，

（2）解：∵直线y=2x+m经过点M(1,0)， ∴0=2×1+m，解得m=?2， ∴y=2x?2， 则得

∴(x?1)(ax+2a?2)=0, 解得x=1或∴N点坐标为∵a

如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，

∵抛物线对称轴为

设△DMN的面积为S，

（3）解：当a=?1时， 抛物线的解析式为：

有

解得：∴G(?1,2)， 如图2，

∵点G、H关于原点对称， ∴H(1,?2)，

设直线GH平移后的解析式为：y=?2x+t， ?x2?x+2=?2x+t， x2?x?2+t=0， △=1?4(t?2)=0，

把(1,0)代入y=?2x+t， t=2，

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是【考点】二次函数与一次函数的综合应用

【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入抛物线 y=ax+ax+b中即可得出b=?2a，将b=?2a，带回抛物线的

2

解析式，再配成顶点式即可得出顶点D的坐标；

（2）将M点的坐标代入直线y=2x+m求出m的值，从而得出直线解析式，再解联立直线解析式与抛物线的解析式所得的方程组，即可得出n点的坐标；根据a

22

（3）将a=?1代入抛物线y==ax+ax?2a得y=?x?x+2，然后解联立抛物线的解析式及直线y=﹣2x的解析式

组成的方程组，即可得出G点的坐标；根据点G、H关于原点对称，得出H点的坐标，设直线GH平移后的解析式为：y=?2x+t，解联立直线GH的解析式及抛物线的解析式得出x2?x?2+t=0，根据有一个交点得出?=0，从而得出关于t的方程，求解得出t的值， 当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0)，把(1,0)代入y=?2x+t，得出t=2,从而得出当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围。