V(r)=?当r≥R 时
Rr?r?dr?(R2?r2) 2?04?0RV(r)=?r?R2?R2Rdr?ln 2?0r2?0r－
如图所示是电势V 随空间位置r 的分布曲线.
5 －29 一圆盘半径R ＝3.00 ×102 m.圆盘均匀带电，电荷面密度σ＝2.00×105 C·m2 .(1) 求轴线上的电势分布；(2) 根据电场强度与电势
－
－
梯度的关系求电场分布；(3) 计算离盘心30.0 cm 处的电势和电场强度.
分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环，利用带电细环轴线上一点的电势公式，将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分相加，即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布，再根据电场强度与电势之间的微分关系式可求得电场强度的分布. 解 (1) 带电圆环激发的电势
dV?14??0rdr?2?rdrr?x?22
由电势叠加，轴线上任一点P 的电势的
?V?2?0?R0r2?x2?2?0?R2?x2-x (1)
? (2) 轴线上任一点的电场强度为
E=-电场强度方向沿x 轴方向.
dV?xi=[1?]i (2)
22dx2?0R?x(3) 将场点至盘心的距离x ＝30.0 cm 分别代入式(1)和式(2)，得
V?1691V
E=5607V?m?1
当x＞＞R 时，圆盘也可以视为点电荷，其电荷为q??R2??5.65?10?8C.依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式，有
4??0xqE=?5649V?m?1 24??0x由此可见，当x＞＞R 时，可以忽略圆盘的几何形状，而将带电的圆盘当作点电荷来处理.在本题中作这样的近似处理，E 和V 的误差分别不超过0.3％和0.8％，这已足以满足一般的测量精度.
5 －30 两个很长的共轴圆柱面(R1 ＝3.0×102 m，R2 ＝0.10 m)，带
－
V?q?1695V
有等量异号的电荷，两者的电势差为450 Ｖ.求：(1) 圆柱面单位长度上带有多少电荷？(2) r ＝0.05 m 处的电场强度.
解 (1) 由习题5 －21 的结果，可得两圆柱面之间的电场强度为
E=根据电势差的定义有
? 2??0rR?ln2 2??0R1U12??E2?dl?R1R2解得 ??2??0U12/lnR2?2.1?10?8C?m?1 R1 (2) 解得两圆柱面之间r ＝0.05m 处的电场强度
E=
??7475V?m?1 2??0r
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