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x???limx2[arctan(x?1)?arctanx]?limarctan(x?1)?arctanx ?2x???x11?x3[1?(1?x)2?(1?x2)]1?(1?x)21?x21?lim?lim x????2x?32x???(1?x2)[1?(1?x)2]12x4?x3?lim?1。 22x???2(1?x)[1?(1?x)]10. 曲线y【答案】y?x2?2lnx在其拐点处的切线方程为 。 ?4x?3.
22【解析】函数的定义域为(0,??)，y??2x?，y???2?2xx令
4；y????3x。
y???0，解得 x?1，而y???(1)?0，故点 (1,1)是曲线唯一的拐点。曲线在该点处的斜率
y?(1)?4，所以切线方程为 y?4x?3。
11.
???5dx? ； 2x?4x?3【答案】
1ln2。 2【解析】
???5dx11?1?x?3?1?1??dx?ln?ln2。 ????2?5x?4x?322?x?1?52?x?3x?1?????3?x?cost??12. 曲线?，在t?对应处的曲率 。
34??y?sint2【答案】。
3【解析】有参数方程求导公式可知
2dy3sintcotsd2y(?tant)?sec2t???tant， 2??， 222dx?3costsintdx?3costsint3costsint 第 6 页 共 15 页
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故曲率
K?y??(1?y?)322?sec2t3cos2tsint(1?tan2t)32?13costsint，代入t??4，可得Kt??4?2。 313. 设函数z?z(x,y)由方程lnz?ez?1?xy确定，则
?z? 。 1?x(2,)21【答案】。
4【解析】方程两边同时对x求导，得
1?z?z1?ez?1?y，将x?2,y? 代入原方程可得 z?x?x2z?1，整理可得
?z1?。
?x(2,1)4214. 设A为3阶矩阵，?1,?2,?3为线性无关的向量组，A?1?2?1??2??3，
A?2??2?2?3，A?3???2??3，则A的实特征值为 。
【答案】2.
?200?【解析】 (A?1,A?2,A?3)?A(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)?11?1?，
????121??令
P?(?1,?2,?3),?200?C??11?1?,
????121??则
AP?PC, P可逆，故A相似于C，A于C有相同的特征值。
??2?E?C??1?1解得矩阵的实特征值为
00??11?(??2)(?2?2??3)?0 ?2??1??2。
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1P(C)11?2??P(C)?,
114??P(C)422三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．程或演算步骤.
2xxearctane?1dx. 15. （本题满分10分）求不定积分?1x2x【解析】?earctane?1dx??arctane?1de2
2xx12x12xx?earctane?1??edarctanex?122x12x1de?1x2x?earctane?1??e221?(ex?1)212x1xx?earctane?1??edex?12212x11xxx?earctane?1??(e?1)de?1??dex?1 22212x11xxx3?earctane?1?(e?1)?e?1?C26216. （本题满分10分）已知连续函数 （I）求
f(x) 满足
?x0f(t)dt??tf(x?t)dt?ax2
0xf(x)；（II）若f(x)在区间[0,1]上的平均值为 1，求a的值。
u?x?t，则 du??dt，从而
xxx000【解析】令
?x0tf(x?t)dt??(x?u)f(u)du?x?f(u)du??uf(u)du，
原方程化为
?x0f(t)d?t?xx0xx0(fu)d?u?x02，等式两边对u(f)u?duaxx求导，得
f(x)??f(u)du?2ax，且 f(0)?0，
由于
f(x)连续，可知?f(u)du可导，进而有 f(x)可导。
0上式再求导可得
f?(x)?f(x)?2a。由一阶线性微分方程的通解公式可得
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f(x)?e?x(2aex?C)，
将
f(0)?0代入，解得C??2a，于是 有 f(x)?2a(1?e?x)。
（II）根据题意可知
11e?x，将f(x)?2a(1?e)代入，可得 a?。 1?f(x)dx1?0?02?x?t?sint17.（本题满分10分）设平面区域D由曲线 ?,(0?t?2?) 与x围成，计算二
?y?1?cost重积分
??(x?2y)d?。
D【解析】画积分区域的草图，化二重积分为二次积分
??(x?2y)d???dx?D02?y(x)0(x?2y)dy??(xy(x)?y2(x))dx，
02?利用边界曲线方程x?t?sint,y?1?cost,(0?t?2?)换元，
2?02(x?2y)d??[(t?sint)(1?cost)?(1?cost)]d(t?sint) ???D??(t?sint)(1?cost)dt??(1?cost)3dt，
002?22?其中
?2?0(t?sint)(1?cost)2dt
2???(t?tcos2t?2tcost?sint?sintcos2t?sin2t)dt?3?2，
0?故 (x?2y)d??3???02?(1?cost)dt??(1?cos3t?3cost?3cos2t)dt?5?，
032?2?5?。
?ln2?1，证明：(x?1)(x?ln2x?2klnx?1)?0。
D18. （本题满分10分）已知常数k【分析】该题的本质是：证明“大于号左边式子构成的函数的最小值为0”。由于左边式子是两个
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因式的乘积且(x?1)较为简单，因此只需要以(x?1)的正负来论证另一个因式的各种变化即可。 【证明】当0?当xx?1（lnx的定义域是x?0）时，仅需证 x?ln2x?2klnx?1?0；
?1时，仅需证 x?ln2x?2klnx?1?0。
令 F(x)?x?ln2x?2klnx?1，则F?(x)?1?2lnx2kx?2lnx?2k， ??xxx令G(x)?x?2lnx?2k，则G?(x)?1?（1）当0?2。 xx?1时，G?(x)?0,G(x)单调递减，G(x)?G(1)?2ln2?1?0，
F(1)?0，命题成立。
从而 F?(x)?0，F(x)单调递增，于是有 F(x)?（2）当 1?x?2时，G?(x)?1?故 G(x)22??0；当x?2时，G(x)?1??0。
xx?x?2lnx?2k 在 ?1,??? 内的最小值在x?2取得，而G(2)?0，
G(x)因此，当x?(1,??) 时，G(x)?0，从而 F?(x)??0，且仅在x?2处可能
x有F?(x)?0。于是，当x?(1,??)时，F(x)单调递增，F(x)也即 x?ln2?F(1)?0，
x?2klnx?1?0。
2 综上所述，对任意的x?(0,??)，均有 (x?1)(x?lnx?2klnx?1)?0。
19. （本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。 【答案】面积之和存在最小值，Smin?1。
??4?33
【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y，三角形的边长为z，则2?x?4y?3z?2，
22三个图形的面积之和为
32S(x,y,z)??x?y?z，
4?2，x?0,y?0,z?0下，求三元函数
则问题转化为 “在条件2?x?4y?3z 第 10 页 共 15 页
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