数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由．
(五城市联赛试题)
11．用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰用n块，若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，y，n都是正整数，且(x，
y)=1，试问这块地有多少平方米？
(湖北省荆州市竞赛试题)
B级
1．若质数m，n满足5m＋7n=129，则m＋n的值为__________．
pp?qq2．已知p，q均为质数，并且存在两个正整数m，n，使得p=m＋n，q=m×n，则nm?nm的值为__________．
3．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积abcde=2 000，则其和a＋b＋c＋d＋e的最大值为__________，最小值为____________．
(“五羊杯”竞赛试题)
4．机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第1 992个
5
数是_______________．
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
5．若a，b均为质数，且满足a＋b=2 089，则49b－a=_________． A．0
B．2 007
C．2 008
D．2 010
11
(“五羊杯”竞赛试题)
6．设a为质数，并且7a＋8和8a＋7也都为质数，记x=77a＋8，y=88a＋7，则在以下情形中，必定成立的是(
A．x，y都是质数
)
B．x，y都是合数
22 C．x，y一个是质数，一个是合数 D．对不同的a，以上皆可能出现
(江西省竞赛试题)
7．设a，b，c，d是自然数，并且a?b?c?d，求证：a＋b＋c＋d一定是合数．
(北京市竞赛试题)
8．请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： ⑴ 6个数中任意两个都互质；
⑵ 6个数任取2个，3个，4个，5个，6个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由．
6
2222
9．已知正整数p，q都是质数，并且7p＋q与pq＋11也都是质数，试求pq?qp的值．
(湖北省荆州市竞赛试题)
10. 41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：
(l) 能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？ (2) 能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由．
01 质数那些事
例1 34 例2 C
例3 3符合要求 提示：当p=3k＋1时，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，显然p＋14是合数，当
p=3k＋2时，p＋10=3(k＋4)是合数，当p=3k时，只有k=1才符合题意．
例4 （1）因1＋2＋…＋2004=
1×2004×（1＋2004）=1002×2005为3的倍数，故无论怎样交换2这2004个数的顺序，所得数都有3这个约数．
（2）因n是大于2的正整数，则2－1≥7，2－1、2、2＋1是不小于7的三个连续的正
整数，其中必有一个被3整除，但3不整除2，故2－1与2＋1中至多有一个数是质数． （3）设正整数a的所有正约数之和为b，d1，d2，d3，…，dn为a的正约数从小到大的排列，
nnnnnnn 7
于是d1=1，dn=a．由于S?1111???????中各分数分母的最小公倍数dn=a，故d1d2d3dnS=
dndn?1dd?d2????dnb2332=，而a=360=2?3?5，故b=（1＋2＋2＋2）×（1?????1=1adndndndn2＋3＋3）×（1＋5）=1170．例5 由
b11701==3． a3604x?y22xy=，得x＋y==k．（k为正整数），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p为奇质数，pxyptp为整数．又t与2t－1互质，故2t2t?1故p整除x或y，不放设x=tp，则tp＋y=2ty，得y=
－1整除p，p为质数，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，与x≠y矛盾；若2t－1=p，则
x?y2=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇质数，则x＋y为偶数，x、y同奇偶性，pxyp?x?y?ap?yap必有某数含因数p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，
2a?122p?1p?1p?p?1??p=故a，2a－1互质，2a－1整除p，又p是质数，则2a－1=p，a=，故x=，222只能同为xy=
p?p?1?p?1?p?1?∴x＋y=＋=。
2222例6 设N是一个同时含有数字1，3，7，9的绝对质数．因为k0=7931，k`=1793，k2=9137，k3=7913，
k4=7193，k5=1937，k6=7139除以7所得余数分别为0，1，2，3，4，5，6．故如下7个正整
数：
N0?C1C2???Cn?47931=LL?104?k0， N1?C1C2???Cn?41793=LL?10?k1， …
N6?C1C2???Cn?47139=LL?10?k6，
其中，一定有一个能被7整除，则这个数就不是质数，故矛盾． A级
1．1998 2．－1 3．63 4．2000 5．D 6．A 7．B
8．由r=p＋q可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为p＜q．故p既是质
8
44
相关推荐：
loading