（m﹣15）（310﹣10m）＝630， 解得：m1＝22，m2＝24，
答：为了尽量让顾客得到更多的优惠，m＝22．
（2）设购进A种水杯x个，则B种水杯（120﹣x）个．设获利y元， 依题意得：
解不等式组得：40≤x≤53，
利润y＝（25﹣15）x+（120﹣x）（20﹣12）＝2x+960． ∵2＞0，
∴y随x增大而增大，
当x＝53时，最大利润为：2×53+960＝1066（元）．
答：购进A种水杯53个，B种水杯67个时获利最大，最大利润为1066元．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连结OA、OB、OC，延长BO与AC交于点D，与⊙O交于点F，延长BA到点G，使得∠BGF＝∠GBC，连接FG． （1）求证：FG是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为4． ①当OD＝3，求AD的长度；
②当△OCD是直角三角形时，求△ABC的面积．
，
【分析】（1）连接AF，分别证∠BGF+∠AFG＝90°，∠BGF＝∠AFB，即可得∠OFG＝90°，进一步得出结论；
（2）①连接CF，则∠ACF＝∠ABF，证△ABO≌△ACO，推出∠CAO＝∠ACF，证△ADO∽△CDF，可求出DF，BD的长，再证△ADB∽△FDC，可推出AD?CD＝7，即AD2＝7，可写出AD的长；
②因为△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°，所以存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，分两种情况讨论：当∠ODC＝90°时，求出AD，AC的长，可进一步求出△ABC的面积；当∠COD＝90°时，△OBC是等腰直角三角形，延长AO交BC于点M，可求出MO，AM的长，进一步可求出△ABC的面积． 【解答】（1）证明：连接AF， ∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°， ∴∠BGF+∠AFG＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC， ∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°， 又∵OF为半径， ∴FG是⊙O的切线；
（2）解：①连接CF，则∠ACF＝∠ABF， ∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO， ∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠ACF， ∴AO∥CF， ∴
＝
，
∵半径是4，OD＝3， ∴DF＝1，BD＝7， ∴
＝
＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC， ∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD?CD＝BD?DF， ∴AD?CD＝7，即AD2＝7， ∴AD＝
②∵△ODC为直角三角形，∠DCO不可能等于90°， ∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°， 当∠ODC＝90°时， ∵∠ACO＝∠ACF， ∴OD＝DF＝2，BD＝6， ∴AD＝CD，
∴AD?CD＝AD2＝12， ∴AD＝2
，AC＝4
，
；
（取正值）；
∴S△ABC＝×4×6＝12
当∠COD＝90°时， ∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形， ∴BC＝4
，
延长AO交BC于点M， 则AM⊥BC， ∴MO＝2∴AM＝4+2
， ，
×（4+2
或8
）＝8+8．
+8，
∴S△ABC＝×4
∴△ABC的面积为12
25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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