专题13 旋转变换 （录入：王云峰）
阅读与思考
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．
旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；
（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．
例题与求解
【例1】如图，边长为1的正△A1B1C1的中心为O，将正△A1B1C1绕中心O旋转到△A2B2C2，使得A2B2丄
B1C1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF）的面积为＿＿．
（“新知杯”上海市竞赛试题）
解题思路：S六边形ABCDEF＝S?A2B2C2?3S?B2CD，解题的关键是寻找CB1，CB2，CD，C1D之间的关系．
A2AA1BB1OFEC1C2
CB2D
【例2】如图，已知△AOB，△COD都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CQD＝90°，N，M，Q，P分别为AB，
CB，CD，AD的中点．
求证：四边形NMQP为正方形．
解题思路：连结BD，AC，并延长AC交于点E，则△OAC可以看作是由△OBD绕点O逆时针旋转90°得到的，且∠AED＝90°，这是证明本例的关键．
BMNCEQ
APOD
【例3】如图，巳知在△ABC中，AB＝AC，P为形内一点，且∠APB＜∠APC． 求证：PB＞PC． （北京市竞赛试题）
解题思路：以A为中心，将△APB旋转一个∠BAC，使AB边与AC边重合，这时△APB到了△AP'C的位置．
AP?P BC
【例4】点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直线AE，BD交于点F．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，则∠AFB＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC＝90°，则∠AFB＝＿＿＿＿； （2）如图3，若∠BAC＝?，则∠AFB＝＿＿＿＿（用含?的式子表示）；
（3）将图3中的△ABC绕点C旋转（点F不与点A，B重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB与∠?的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB与∠?的数量关系是＿＿＿．
请你任选其中一个结论证明． （武汉市中考试题）
DAFAFED
ABCDAFD
BC图1
图2
EBC图3
EFFCBEC图4
D
QABE图5
解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC∽△EDC，△BCD∽△ACE，这是解本例的关键．
【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．
求证：∠ABC＝60°． （北京市竞赛试题）
解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，则△
ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．
AEBCD
E?
【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为2?6，求此正 方形的边长． （广东省竞赛试题）
解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起．
AD
E B
C
能力训练
A级
1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线
BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿． （上海市中考试题）
AD
P?BEAB第1题
CPA第2题
D
C第3题
CB
2．如图，P是正△ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到
△P'AB，则点P与点P'之间的距离为＿＿＿＿，∠APB＝＿＿＿＿．
（青岛市中考试题）
3．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°．将CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，则△ADE的面积是＿＿＿＿．
4．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝＿＿＿＿．
（上海市中考试题）
ACBB?BAD?第5题
D
C?CDKPAGFHCD第4题
BE第6题
5．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至AB'C'D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．
（全国初中数学联赛试题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm．以斜边BC上距离点B6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．
（黄冈市竞赛试题）
7．如图，将△ABC绕点C（0，?1）旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为（a，b），则点A的坐标为（ ）
A．（?a，?b）
B．（?a，?b?1）
C．（?a，?b?1）
D．（?a，?b?2）
（河南省中考试题）
yB?A?xAAPB第8题
OABCPCB第9题
C
第7题
8．如图，已知P是等边△ABC内部一点，∠APB︰∠BPC︰∠CPA＝5︰6︰7．则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）
A．2︰3︰4
B．3︰4︰5
C．4︰5︰6
D．不能确定
（全国初中数学通讯赛试题）
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P是△ABC内一点，则（ ） A．PA＋PB＋PC＜AB＋AC
B．PA＋PB＋PC＞AB＋AC C．PA＋PB＋PC＝AB＋AC
D．PA＋RB＋PC与AB＋AC的大小关系不确定
（武汉市竞赛试题）
10．已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD．连结EF，将△FOE绕点O逆时针旋转?角得到△F′OE′（如图2）．
E?F
AOEDF?AOC图1
?D
BB图2
C
（1）探究A'E与BF′的数量关系，并给予证明； （2）当?＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形．
（南通市中考试题）
11．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝?，点M，N分别是BE，CF的中点． （1）若点A与点D重合，点E，F分别在AB，AC上（如图1），则AM与AN的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN与?的数量关系是＿＿＿＿；
（2）将图1中的△DEF绕点A（D）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
BMBENMFECNF
图1
A(D)C图2
A(D)
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