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?1??0??1??100001?a? ......?000000?001001?a0??00011?a00???....7分 从
??0001?A?1??001?a????01?a0???1?a00??? ......9分 18.解
由
AX?E?A3?X,(A?E)X?A3?E ......2分
?1?11??100??0?又由
A?E???110?????010????11??100????011????001????010??逆 ......5分
由(A?E)X?A3?E,可得(A?E)X?(A?E)(A2?A?E) 两边左乘(A?E)?1,得到
?X?A2?A?E??0?12??201?????1?11??100??2?110?????010?????3??121????011????001????1 ......9分
19
解
x1?1?x2?2?x3?3??， ..2分
该线性方程组的增广矩阵为
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而
得
可
?23?21??33??设
....
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?1???1A??1k?1k2?1??1??211??0???1k?1k2?1??21?k?k?2?
?11k10?1?k??11k?11???0???000?k2??? ......6分
??由于?能有1,?2,?3线性表出，则必有r(A)?r(A)?3 此时k?0，方程组有唯一解x1?1,x2?x3?0 表
示
式
???1 ..9分
20.解 方程组的增广矩阵
??11110??10?1?1A???01221?????1??01221?? ??12331????00000??...2分 ?可知
r(A)?r(A)?2＜＜4，方程组有无穷解 ......4分
由同解方程组??x1??1?x3?x4?x2?1?2x
3?2x4求出方程组的一个特解?*?(?1,1,0,0)T, 导
出
组
的
一
个
基
础
解
系
?1?(1,?2,1,0)T,?2?(1,?2,0,1)T ......7分
从而方程组的通解为
?*?c1?1?c2?2?(?1,1,0,0)T?c1(1,?2,1,0)T?c2(1,?2,0,1)T
(c1,c2为
任
意
数） ......9分 精品文档
为
....
...
多
为
常
精品文档 21.解
由
条
件
可
知
矩
阵
A的特征值为
?1?1,?2??3?2 ......2分
0 由
1?1?11?x?1?00，
得
E?A??1?2?xx?1 ......4分
对于?1?1，由线性方程组(E?A)x?0求得一个特征向量为 ?1?(?1,1,1)
对于?2??3?2，由线性方程组(2E?A)x?0求得两个线性无关的特征向量为
TT ?2?(1,0,1),?3?(0,1,1)
T令
??110???P?(?1,?2,?3)??101??111???,则
P?1AP?B ......9分
22.
23.解
二
次
型
的
矩
阵
?101???A??020? ......2分
?101???
??1由?E?A?0?10?(??2)2??0
0?1??20的
??1特
征
值
为
故
A?1??2?2,?3?0 ......4分
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对于?1??2?2，求解齐次线性方程组(?A)x?0，得到基础解系
T ?3?(?1,0,1)
将其单位化，得
?3?(?
12,0,12)T ......7分
?0?令P?(?1,?2,?3)??1??0?
10122?1?2?0?,则P为正交矩阵，
?1?2??x1??y1?????经正交变换?x2??P?y2?，化二次型为标准形
?x??y??3??3?22y12?2y2 ......9分
四、
五、证明题（本题7分）
23.证 由于向量组?1,?2,?3线性相关，故存在不全为零的常数k1,k2,k3，使得
k1?1?k2?2?k3?3?0 ......2分
其中必有k1?0。否则，如果k1?0，则上式化为k2?2?k3?3?0
其中k2,k3不全为零，由此推出?2,?3线性相关，与向量组中任意两个向量都
线
性
无
关
的
条
件
矛
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盾 ......5分 类似地，可证明
k2?0,k3?0 ........7分
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