AA1?A1B1，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE?3EB1,
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°, 求二面角A1?AC1?B1的大小.
【测量目标】空间立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识.
【考查方式】线面垂直定理的应用，找出异面直线所成角,由边长解三角形.
F, 【试题解析】（Ⅰ）证明：连接A1B,记A1B与AB1的交点为
（步骤1） ?平面A1ABB1为正方形?A1B?AB1,且AF?FB1，又?AE?3EB1 , ?FE?E1，（步骤2） B又?D为BB1的中点 , ?DE//BF,DE?AB1.（步骤3） 作CG?AB,G为垂足，
由AC?BC知，G为AB中点， 又由底面ABC?平面A1B1B,（步骤4） 1ABB1,得CG?平面AA连接DG,则DG∥AB1,故DE?DG.
由三垂线定理得，DE?CD,?DE为异面直线AB1与CD的公垂线. （步骤5）
（Ⅱ）DG∥AB1,故?CDG为异面直线AB1与CD的夹角，?CDG=45，（步骤6） 设AB?2,则AB1=22，DG?2,CG?2,AC?3, 作B1H?AC（步骤7） 11,H为垂足，
??底面A1B1C1?平面AAC11C
故B1H?平面AAC11C,又作HK?AC1,K为垂足，连接B1K,（步骤8） 由三垂线定理得，B1K?AC1,
??B1KH为二面角A1?AC1?B1的平面角.（步骤9）
?HK?AC1,?平面A1ABB1为正方形,??C1KH??AA1C1?又??AC1A1??HC1K,??C1KH??C1AA1,
π, 2?△C1KH∽△C1A1A.
A1B1?B1H?
?1?2AC?AB?11?11223?2??,HC1?B1C21?B1H2?, AC33112KH?AA1?C1H?AC12?2?233?3?2?221, 2122BH3?14. ?tan?B1KH?1?KH22121?二面角A1?AC1?B1的平面角的大小为arctan14.（步骤10）
20.（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1、T2、T3、T4，电源能通过
T1、T2、T3,的概率都是P，电源能通过T4的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立.
已知T1、T2、T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999. （Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.
【测量目标】互斥事件、对立事件及独立事件的概率.
【考查方式】由互斥事件与独立事件的概率,设出基本事件，并求出概率. 【试题解析】（Ⅰ）根据题意得，记电流能通过Ti为事件Ai，i=1,2,3,4.
A表示事件：T1、T2、T3,中至少有一个能通过电流.
易得A、A2、A3相互独立，且A?A1?A2?A3,（步骤1） 1PA??1?P??1?0.999?0.001,计算得，P?0.9.（步骤2）
（Ⅱ）根据题意，记B表示事件:电流能在M与N之间通过，有
??3B?A4??1?A4?A1A3??1?A4??1?A1?A2A3，则P?B??P(A4??1?A4?A1A3??1?A4??1?A1?A2A3)=
0.9?0.1?0.9?0.9?0.1?0.1?0.9?0.9?0.09891.(步骤3)
21.（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?3ax2?3x?1. （Ⅰ）设a?2，求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）设f(x)在区间?2,3?内至少有一个极值点，求a的取值范围. 【测量目标】利用导数研究函数的单调区间、极值. 【考查方式】利用函数导数、单调性，求解的a取值范围.
32【试题解析】（Ⅰ）当a?2时，f(x)?x?6x?3x?1，
f?(x)?3x?2?3x?2?3，（步骤1）
????????当x??2?3,2?3?时，f?(x)?0,f(x)在?2?3,2?3?单调递减； 当x??2?3,???时，f?(x)?0,f(x)在?2?3,???单调递增；
综上，f(x)的单调递减区间是?2?3,2?3?；f(x)的单调递增区间是???,2?3???2?3,???.
当x???,2?3时，f?(x)?0,f(x)在??,2?3单调递增；
22（Ⅱ）f?(x)?3??x?a??1?a?，
??当1?a…0时，f?(x)…0,f(x)为增函数，故f(x)无极值点；
2当1?a?0时，f?(x)?0有两个根
2x1?a?a2?1，x2?a?a2?1 由题意知，2?a?a2?1?3 ①，或2?a?a2?1?3 ②， ①式无解，②式的解为
22.（本小题满分12分）
55?55??a?，因此a的取值范围是?,?. 43?43?x2y2已知斜率为1的直线l与双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)相交于B、D两点，且BD的
ab中点为M?1,3?. （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF?BF?17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
【测量目标】双曲线的简单几何性质、圆锥曲线的中的定点问题.
【考查方式】直线与双曲线消元后，根据中点坐标公式，解离心率；由离心率条件及点坐标证明等式，得出相关结论.
【试题解析】（Ⅰ）由题意知，l的方程为：y?x?2，
2222222代入C的方程，并化简，得b?ax?4ax?4a?ab?0，（步骤1）
??设B(x1,y1)、D?x2,y2?，
4a24a2?a2b2则x1?x2?2，x1x2?? ①（步骤2）
b?a2b2?a2x1?x214a2?1，故?2?1 由M(1,3)为BD的中点知222b?a即b?3a， ②（步骤3）
故c?a2?b2?2a 所以C的离心率e?22c?2.（步骤4） a（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2?y2?3a2，
4?3a2A(a,0),F(2a,0),x1?x2?2,x1x2???0，
2故不妨设x1剠?a,x2（步骤5） a，
BF?FD??x1?2a??y12??x2?2a?22?x1?2a??3x12?3a2?a?2x1， ?x2?2a?22?y22??3x22?3a2?2x2?a，
BF?FD??a?2x1??2x2?a?
??4x1x2?2a?x1?x2??a2 ?5a2?4a?8.（步骤6）
又BF?FD?17，故5a?4a?8?17， 解得a?1，或a??故BD?29（舍去）， 52x1?x2?2??x1?x2?2?4x1x2?6.(步骤7)
连结MA，则由A(1,0),M(1,3)知MA?3，从而MA?MB?MD，且MA?x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、
B、D三点的圆与x轴相切.（步骤8）
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