高考数学二轮复习题型练大题专项(三)统计与概率问题

题型练5 大题专项(三) 统计与概率问题

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1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手两名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有两名种子选手,且这两名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望. 解:(1)由已知,有P(A)=

222C22C3+C3C3

C48

=35.

6

所以,事件A发生的概率为35.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. P(X=k)=

4-??C??5C3

6

C48

(k=1,2,3,4).

所以,随机变量X的分布列为

X P 1 1 14114

2 3 737

3 3 752

4 1 14随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.

7

14

31

2.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 电影部数 好评率 第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. 假设所有电影是否获得好评相互独立.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.

解:(1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部). P(A)=140+50+300+200+800+510=2000=0.025.

(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.

50

50

(3)由题意可知,定义随机变量如下: ξk={

0,第??类电影没有得到人们喜欢,1,第??类电影得到人们喜欢,

则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下: 第一类电影:

ξ1 P

1 0.4

0 0.6

D(ξ1)=0.4×0.6=0.24; 第二类电影:

ξ2 P

1 0.2

0 0.8

D(ξ2)=0.2×0.8=0.16; 第三类电影:

ξ3 P

1 0.15

0 0.85

D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275; 第四类电影:

ξ4 P

1 0.25

0 0.75

D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875; 第五类电影:

ξ5 P

1 0.2

0 0.8

D(ξ5)=0.2×0.8=0.16; 第六类电影:

ξ6 P

1 0.1

0 0.9

D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.

综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).

3.2018年在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会.会后,央视媒体平台,收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片,并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”,其作者年龄集中在[25,85]之间,根据统计结果,作出频率分布直方图如下:

(1)求这100位作者年龄的样本平均数??和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);

(2)由频率分布直方图可以认为,作者年龄X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数??,σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布,求P(60

②央视媒体平台从年龄在[45,55]和[65,75]的作者中,按照分层抽样的方法,抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会,现要从中选出3人作为代表发言,设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y,求变量Y的分布列和数学期望. 附:√180≈13.4,若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ

??=30×0.05+40×0.1+50×0.15+60×0.35+70×0.2+80×0.15=60,

s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.1+(-10)2×0.15+0×0.35+102×0.2+202×0.15=180. (2)①由(1)知,X~N(60,180),

从而P(60

21

②根据分层抽样的原理,可知这7人中年龄在[45,55]内有3人,在[65,75]内有4人. 故Y可能的取值为0,1,2,3. P(Y=0)=

3C03C4

C37

=35,P(Y=1)=

12

4

2C13C4

C37

=35, =35.

1 2 3 1

18

P(Y=2)=C3=35,P(Y=3)=

7

1C23C40

C33C4

C37

所以Y的分布列为

Y P 0 4 3518 3518

12

12 359

1 35所以Y的数学期望为E(Y)=0×35+1×35+2×35+3×35=7.

4.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; ②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

41

3-??C??4·C3

P(X=k)=

C37

(k=0,1,2,3).

所以,随机变量X的分布列为

X P 0 1 351 12 351

12

18

2 18 354

127

3 4 35随机变量X的数学期望E(X)=0×35+1×35+2×35+3×35=

.

②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B+C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B+C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件

76

A发生的概率为7.

5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为2,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?

(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,得

1

P(X=10)=C32

P(X=20)=C3

1

6

×(2)×(1-2)=8, ×(2)×(1-2)=8, ×(2)×(1-2)=8, ×()×(1-)=.

2

2

8

10

13

1

13

10

1

12

11

3

1112

3

3

P(X=100)=C3

0

P(X=-200)=C3

所以X的分布列为

X P 10 3 820 3 81

100 1 8-200 1 8(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3), 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=8.