第六章 曲线运动
第2节 太阳与行星间的引力
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(本题共20小题，每小题4分，共80分．有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)
1．设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R．宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝
F0R ．假设第三次在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四22次在距行星表面高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4．已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )
F0F ，F4＝0 44FB．F3＝0 ，F4＝0
415F0C．F3＝ ，F4＝0
4FD．F3＝4F0 ，F4＝0
4A．F3＝【答案】B 【解析】
设该行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力：F1＝ GMm=F0 R2114?r3由于球体的体积公式为：V= ；由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2=F0．则：Fn2＝F1?F2＝
223R311()1F0＝mω2?R，;R处受到的万有引力：所以半径R以内的部分的质量为：物体在
M?＝23M?M228RGM?m1111 ＝F1?F02R2F3′＝R2; 物体需要的向心力：Fn3＝m??＝m?R＝F0，所以在赤道平面内22()2242111深度为R/2的隧道底部，示数为：F3=F3′?Fn3＝F0?F0＝F0；第四次在距星表高度为R处绕行星做
244匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧秤的示数为0．所以选
1
项B正确，选项ACD错误．故选B．
点睛：解决本题的关键知道在行星的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．同时要注意在绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时物体处于完全失重状态．
2．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体（可视为质点，假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中F随x的变化关系图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可知，物体在地球内部距离球心x(x?R)的位置时，外面球壳对其引力为0，内部以x为半径的球体对其引力为
F?G则
Mm?G2x??πx3m?43x24 πG?mx3F?x
2
图象为过原点的倾斜直线；当x?R时，地球对物体的引力为
F?G则
M?m?Gx2??πR3m43x2
F?图象为随x增大而减小的曲线。 故选A。
1 2x3．地球的质量为M，半径为R。质量为m的宇航员离地面高度为h时，受到地球的万有引力为（ ） A．F＝G
Mm RMm R?hB．F＝G
Mm 2RC．F＝GD．F＝G
Mm
(R?h)2【答案】D 【解析】 【详解】
根据万有引力公式有F=GMm，其中 r2r?R?h
万有引力大小为
F=G故D正确，ABC错误； 故选D。
Mm
(R?h)24．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r?
R
，则原球体剩余部分对质点P的万有引力为（ ） 2
3
A．
1F 2B．
1F 8C．
7F 8D．
1F 4【答案】C 【解析】 【详解】
设球心O点与球外质点P的距离为r0，没挖去前，球体质量为m，球外质点质量为M，挖去部分的质量为m0，根据
m?43?R3?
m40?3?r3?
可知
m10?8m
则没挖去前，球体对质点P的万有引力
F?GMmr2 0挖去的部分对球外质点P的万有引力
F??GMm0r2?18F 0则球体剩余部分对球外质点P的引力
F???F?F??78F 故C正确ABD错误。 故选C。
5．对于太阳与行星间的引力表达式F?GMmr2，下列说法错误的是（ ） A．公式中的G为比例系数与太阳行星均无关 B．太阳与行星受到的引力总是大小相等
C．太阳与行星受到的引力是一对平衡力，合力等于0，太阳和行星都处于平衡状态 D．太阳与行星受到的引力是一对作用力与反作用力 【答案】C 【解析】
4
【分析】 【详解】
A．公式中G为比例系数，与太阳、行星都无关，故A正确；
BCD．太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力，不是平衡力，二者大小相等，故BD正确，C错误。 本题选择错误的，故选C。
6．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力。关于物体在下列位置所受万有引力大小的说法正确的是（ ） A．离地面高度R处为4mg C．离地面高度2R处为【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
AB．由于近似等于物体所受的万有引力，得
1mg 91mg 211D．离地面高度R处为mg
29B．离地面高度R处为
G则当物体离地面高度R时的万有引力
Mm?mg R2GMm1?mg (2R)24故AB错误；
C．离地面高度2R时的万有引力
GMm1?mg (3R)29故C正确； D．离地面高度
1R时的万有引力 2GMm4?mg 329(R)2故D错误。
5
故选C。
7．“天宫二号”空间实验室与“蛟龙”号载人潜水器是中国科学技术的重大成就。若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫二号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫二号”所在处的加速度之比为（ ）
R-dA．
R+h(R-d)(R+h)C．
R2【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
(R-d)2B．
(R+h)2(R-d)(R+h)2D． 3R“天宫二号”离地心的距离为R?h，根据万有引力定律及牛顿第二定律可得，“天宫二号”所在处的加速度为
g天?GM
(R?h)2又知“蛟龙”号距离地心R－d，该处的加速度相当于半径为R－d的球体对物体的万有引力产生的加速度，设半径为R－d的球体的质量为M?，则
MM?? R3(R?d)3故“蛟龙”号所在位置处的加速度
g龙?GM?GM(R?d)?
(R?d)2R3所以“蛟龙”号与“天宫二号”的加速度之比为
GM(R?d)GM(R?d)(R?h)2g龙:g天?:?
R3(R?h)2R3故D正确。 故选D。
8．现欲发射一颗火星探测卫星。在探测卫星离开地球的过程中，用R表示卫星到地心的距离用F表示卫星受地球的引力。如图所示图象中正确的是（ ）
6
A． B．
C． D．
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
F表示卫星受到地球的引力，根据万有引力定律公式，有F?GMm，故 R2F?是直线，故D正确。 故选D。
1 2R9．地球的半径为R，某卫星在地球表面所受万有引力为F，则该卫星在离地面高度约6R的轨道上受到的万有引力约为（ ） A．6F 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
地球的半径为R，该卫星在地球表面所受万有引力为F，则
??=??
????
??2B．7F
C． 36??
D． 49
??
该卫星在离地面高度约6R的轨道上受到的万有引力
??′=??
????
(??+6??)2则卫星在离地面高度约6R的轨道上受到的万有引力
7
??′=
故选D。
10．某一行星表面附近有颗卫星做匀速圆周运动．其运行周期为T，假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力．物体静止时，弹簧测力计的示数为N，则这颗行星的半径为
?? 49NT2
A． 2
4?m4?2mC． 2
NT
【答案】A 【解析】 【详解】
NT4
B． 2
4?m4?2mD． 4
NT
2GMmMm''4??mg；对绕行星表面附近做匀速圆周运动的卫星：G2?m2R 联对物体：N=mg；且
R2RTNT2立解得：R?，故选A. 24?m11．为了将天上的力和地上的力统一起来，牛顿进行了著名的“月—地检验”。“月—地检验”比较的是 A．月球表面上物体的重力加速度和地球公转的向心加速度 B．月球表面上物体的重力加速度和地球表面上物体的重力加速度 C．月球公转的向心加速度和地球公转的向心加速度 D．月球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度 【答案】D 【解析】 【详解】
“月—地检验”比较的是月球绕地球公转的向心加速度和地球表面上物体的重力加速度，得出天上的力和地上的力是统一的。故D项正确。 12．在牛顿的月—地检验中有以下两点：
(1)由天文观测数据可知，月球绕地球运行的周期为27.32天，月球与地球间相距3.84?108m，由此可计算出加速度a?0.0027m/s2；(2)地球表面的重力加速度为9.8m/s2，月球的向心加速度与地球表
8
面重力加速度之比为1:3630，而地球半径6.4?10m和月球与地球间距离的比值为1:60。这个比值的平方1:3600与上面的加速度比值非常接近。以上结果说明（ ） A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力 B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力 C．地面物体所受地球的引力只与物体质量有关，即G?mg D．月球所受地球的引力除与月球质量有关外，还与地球质量有关 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
牛顿进行了“月--地检验”，说明天上和地下的物体都遵从万有引力定律，即地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一性质的力，故A正确。 故选A。
13．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”是否遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球
半径60倍的情况下，需要验证（ ）
?6?1 601B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的2
601C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
61D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
60A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
A．月球和苹果的质量相差巨大，地球吸引月球的力远大于地球吸引苹果的力，故A错误； B．苹果在地球表面受到的重力近似等于万有引力
GMm?mg 2R月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力
9
GMm?ma
(60R)2解得月球公转的加速度与苹果落向地面的加速度之比
a1= g602故B正确；
C．月球半径未知，无法得到自由落体在月球表面的加速度，故C错误； D．月球半径未知无法得到苹果在月球表面受到的引力，故D错误。 故选B。
14．如果设行星的质量为m，绕太阳运动的线速度为v，公转周期为T，轨道半径为r，太阳的质量为M，
则下列说法错误的是( )
v2A．教材在探究太阳与行星的引力大小F的规律时，引入了公式F?m，这个关系式实际上是牛顿
r第二定律
B．教材在探究太阳与行星的引力大小F的规律时，引入了公式v?周运动的一个公式
2?r，这个关系式实际上是匀速圆Tr3C．教材在探究太阳与行星间的引力大小F的规律时，引入了公式2?k，这个公式实质上是开普勒
T第三定律，是不可以在实验室中得到验证的
D．教材在探究太阳与行星间的引力大小F的规律时，得到的关系式F?知识（即：也可以理解为太阳绕行星做匀速圆周运动）得到F?M之后，又借助相对运动的r2M，最终关系式用数学方法合并成r2F?Mm 2r【答案】D 【解析】 【详解】
v2引用公式F=m ，这个关系式实际上是牛顿第二定律，抓住引力提供向心力得出的，故A正确。引
r10
2?rr3用公式v?，这个公式是匀速圆周运动线速度与周期的关系式，故B正确。引入了公式 2?k，
TT这个公式实质上是开普勒第三定律，是不可以在实验室中得到验证的，故C正确。教材在探究太阳与行星间的引力大小F的规律时，得到的关系式F∝系式用数学方法合并成F∝
MmF 之后，根据牛顿第三定律得出∝，最终关
r2r2Mm ，故D错误。本题选错误的，故选D。 2r15．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的（ ）
A．理想实验——理论推导——实验检验 B．假想——理论推导——实验检验 C．假想——理论推导——规律形成 D．实验事实——假想——理论推导 【答案】B 【解析】 【详解】
牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论，故B正确ACD错误。 故选B。
16．月—地检验的结果说明( )
A．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力 B．地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力不是同一种性质的力 C．地面物体所受地球的引力,只与物体的质量有关 D．月球所受地球的引力,只与月球的质量有关 【答案】A 【解析】 【详解】
A. 月??地检验本质上就是探究天上的力和地上的力是否属于同一种力，遵循相同的规律。月??地检验的结果说明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力。故A正确，B错误； C. 月??地检验的结果说明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同一种性质的力。即遵循力与两物体质量的乘积成正比，与距离的平方成反比的规律，故C错误，D错误；
11
故选：A. 【点睛】
牛顿当时的猜想依据：（1）太阳与行星之间的引力使行星不能飞离太阳，地球与物体之间的引力使得物体不能离开地球；（2）在离地面很高的距离内，都不会发现重力有明显的减弱，那么这个力必定能延伸到很远的距离．为了验证这一猜想牛顿进行了著名的“月地检验”，证实了天体间的引力规律同样适用与地球与物体之间，接着牛顿又大胆地进行了合理的外推．
17．北斗导航卫星绕地球做圆周运动，是由于受地球对它的引力作用。下列关于万有引力定律的公式正确
的是（ ） A．F＝kx 【答案】B 【解析】 【详解】
万有引力定律内容为自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间的距离的二次成反比，作用力在两个物体的连线上。公式为：
B．F＝G
m1m2 2rC．F＝ma D．F＝k
q1q2 2rF=G故B正确，ACD错误； 故选B。
m1m2 2rT218．行星绕恒星的运动轨道近似为圆形，行星的运行周期T的平方与轨道半径R的三次方的比3为常数后，
R则常数的大小（ ） A．只跟行星的质量有关 B．只跟恒星的质量有关
C．跟恒星的质量及行量的质量都有关系 D．跟恒星的质量及行星的质量都没关系 【答案】B 【解析】 【分析】
12
T2开普勒第三定律中的公式3?k，可知半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比．
R【详解】
T2开普勒第三定律中的公式3?k，可知半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，式中的k只与恒星
R的质量有关，与行星质量无关，故ACD错误，B正确； 故选B．
19．牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律．下列有关说法
正确的是（ ）
A．“月﹣地检验”表明地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律 B．“月﹣地检验”表明物体在地球上受到的引力是在月球上的60倍 C．行星间引力与距离的平方成反比关系是根据牛顿第三定律得到的 D．引力常量G的大小是牛顿利用实验测出的 【答案】A 【解析】
万有引力定律建立后，经历过“月﹣地检验”， “月﹣地检验”表明地面物体、月球所受地球引力都遵从同样的规律，课本有此检验的详细描述，故A正确；“月﹣地检验”表明物体在地球上受到的引力是在月球上的6倍，故B错误；牛顿探究天体间的作用力，得到表明行星间引力与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，故C错误；牛顿发现万有引力定律，但是没有测得引力常量G的大小，G大小是卡文迪许测得的，故D错误．故选A．
20．如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半
径为R．下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
GMm 2（r-R）13
B．一颗卫星对地球的引力大小为
GMm 2rGm2C．两颗卫星之间的引力大小为 23rD．三颗卫星对地球引力的合力大小为【答案】BC 【解析】 【详解】
A、B项：地球对一颗卫星的引力F?G确；
C项：由几何关系知，两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120?，间距离l?3r，则两卫星的万有引
3GMm r2MmMmG，则一颗卫星对地球的引力为，故A错误，B正
r2r2Gm2Gm2力为2?，故C正确；
l3r2D项：卫星对地球的引力均沿卫星地球的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，由几何关系可知，地球受到三颗卫星引力大小相等方向120?角，所以合力为零，故D错误．
二、计算题(本题2小题，共20分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答
案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
21．已知地球半径R地＝6 400 km，月球绕地球做圆周运动的半径r＝60R地，运行周期T＝27.3天＝2.36×106s， (1)求月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月；
(2)地球表面物体自由下落的加速度g一般取多大？，a月与g的比值是多大？
(3)根据万有引力公式及牛顿第二定律推算，月球做匀速圆周运动的向心加速度是地面附近自由落体加速度g的多少倍？比较(2)、(3)结论说明什么？ 【答案】（1）2.72×10－3m/s2 （2）【解析】
(1)根据向心加速度公式，有：a月＝rω2
1 （3）地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力. 36004?3.142×60×6.4×106m/s2≈2.72×10－3m/s2 即a月＝62(2.36?10)14
?3a2.72?101月??(2)g＝9.8 m/s2，. g9.83600(3)根据万有引力定律F＝G，F∝
11.，所以月球轨道处的向心加速度约是地面附近自由落体加速度的
r2602130说明地球表面的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.
22．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T=
s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解．计算时星体可视为均匀球体．(引力常数G=6.67?10?11m3/kg.s2) 【答案】1.27×1014 kg/m3 【解析】 【详解】
设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解．设中子星的密度为?，质量为M，半径为R，自转角速度为?，位于赤道处的小块物质量为m，则有：
GMm2?m?R 2R??2? T4M??R3?
3由以上各式得
??代入数据解得：
3? GT2??1.27?1014kg/m3
15
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