《医药数理统计方法》练习册学习指导

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3（4）P(D)?mn?C16C320?0.4912。

6．房间里有10个人，分别佩戴着1～10号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。

解：设A={任选三人中最小号码为5}，B={任选三人中最大号码为5} （1）对事件A，所选的三人只能从5～10中选取，而且5号必定被选中。

P(A)?mn?C1C5C31012?112?0.0833；

（2）对事件B，所选的三人只能从1～5中选取，而且5号必定被选中。

P(B)?mn?C1C4C31012?120?0.05。

7．某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%，其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求：（1）被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。

解：设 A={被抽查者是近视眼}，B={被抽查者是色盲}； 由题意知，P(A)=0.22，P(B)= 0.02，P(AB)= 0.01，则 （1）利用加法公式，所求概率为

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.22+0.02－0.01=0.23；

（2）所求概率为

P(AB)=P(A?B)=1－P(A+B)=1－0.23 =0.77。

注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和（1）的结果。 8．设P(A)=0.5，P(B)=0.3且P(AB)=0.l。求：（1）P(A+B)；（2）P(A+B)。 解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.5+0.3－0.1=0.7； （2）P(A+B)= P(A)+P(B)－P(AB)=[1－P(A)]+P(B)－P(B－A)

=1－P(A) +P(B)－[P(B) －P(AB)]= 1－P(A) + P(AB) =1－0.5+0.1=0.6。

注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。

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9．假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过2％，则接收，否则拒收。假设该批药品共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率。

解：设 A={50件抽检药品中不合格品不超过1件}， 据题意，仅当事件A发生时，该批药品才被接收，故所求概率为

P(A)?mn?C95?C5C95C5010050149?0.1811。

10．设A,B为任意两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0。证明： （1）若A与B互不相容，则A和B不独立； （2）若 P(B|A)=P(B|A)，则A和B相互独立。

证明：（1）用反证法。假定A和B独立，因为已知A与B互不相容，则

AB=?，P(AB)= P(?)=0

故 P(A) P(B)= P(AB)=0

但由已知条件P(A)＞0，P(B)＞0得P(A) P(B)>0，由此导出矛盾，所以若A与B互不相容，则A和B不独立。

（2）由已知P(B|A)=P(B|A)，又

P(B|A)?P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(AB)P(A)?，P(B|A)?P(AB)P(A)

则 ?P(B?A)1?P(A)?P(B)?P(AB)1?P(A)

即 P(AB)[1－P(A) ]= P(A)[P(B)－P(AB)]

P(AB)－P(AB)P(A) = P(A)P(B)－P(A)P(AB)

故 P(AB) = P(A)P(B) 这即A和B相互独立。

（2）又证：由已知

P(B|A)=P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B?A)1?P(A)?P(B)?P(AB)1?P(A)

即 P(B|A)[1－P(A) ]= P(B)－P(AB)

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P(B|A)－P(B|A)P(A) = P(B)－P(AB) P(B|A)－P(AB) = P(B)－P(AB)

P(B|A) = P(B)

这即A和B相互独立。

11．已知P(A)=0.1，P(B)=0.3，P(A | B)=0.2，求：（1）P(AB)；（2）P(A＋B)；（3）P(B|A)；（4）P(AB)；（5）P(A|B)。

解：（1）P(AB)= P(B) P(A | B)=0.3×0.2=0.06；

（2）P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.1+0.3－0.06=0.34； （3）P(B|A)?P(AB)P(A)?0.060.1?0.6；

（4）P(AB)=P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.1－0.06=0.04； （5）P(A|B)?P(AB)P(B)?P(A?B)1?P(B)?1?P(A?B)1?P(B)?1?0.341?0.3?0.9429。

12．某种动物活到12岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0.4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？

解：设A={该动物活到12岁}，B={该动物活到20岁}；由题意知

P(A)=0.8，P(B)=0.4

显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有

B?A，且AB=B，

则所求概率是条件概率

P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?0.40.8?0.5。

13．甲、乙、丙三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5，2/3，1/4，求该密码被破译的概率。

解：设 A={甲译出该密码}，B={乙译出该密码}，C={丙译出该密码}. 由题意知，A，B，C相互独立，而且

P(A)=1/5，P(B)=2/3，P(C)=1/4

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则密码被破译的概率为

P(A+B+C)=1－P(ABC)=1－P(A)P(B)P(C)=1?45?13?34=0.8

或 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+ P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)

=P(A)+P(B)+ P(C)－P(A) P(B)－P(A) P(C)－P(B) P(C) + P(A) P(B) P(C) =?5123?14?15?23?15?14?23?14?15?23?14?45?0.8。

14．有甲乙两批种籽，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种籽中各任意抽取一粒，求下列事件的概率：（1）两粒种籽都能发芽；（2）至少有一粒种籽能发芽；（3）恰好有一粒种籽能发芽。

解：设 A={甲种籽能发芽}, B={乙种籽能发芽} 则由题意知，A与B相互独立，且有

P(A)=0.8，P(B)=0.7，

则所求概率为

（1）P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56；

（2）P(A+B) =1－P(A?B)=1－P(AB)=1－P(A)P(B)=1－0.2×0.3=0.96； （3）P(AB?AB)=P(A)P(B)?P(A)P(B)=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。

15．设甲、乙两城的通讯线路间有n个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为p，试求：（1）甲、乙两城间通讯中断的概率；（2）若已知p=0.005，问在甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95？

解：设Ak={第k个中继站通讯中断}, k=1,2,?,n，则A1, A2, ?, An相互独立，而且有P(Ak)=p, k=1,2,?,n。

（1）所求概率为

P(A1+ A2+?+ An)=1－P(A1?A2???An)=1－P(A1A2?An) =1－P(A1)P(A2)?P(An)=1－(P(A1))n?1－(1－p)n； （2）设甲、乙两城间至多只能设n个中继站，由题意，应满足

P(A1A2?An)=(1－p)n≥0.95，

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