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《数学学科知识与教学能力》（高级中学）
一、考试目标
1．数学学科知识的掌握和运用。掌握大学本科数学专业基础课程的知识和高中数学知识。具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。
2．高中数学课程知识的掌握和运用。理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。
3. 数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。
二、考试内容模块与要求
1.学科知识
数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。 大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。
其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。
高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。
其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。
2．课程知识
了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。
熟悉《课标》所规定教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 了解《课标》各模块知识编排的特点。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3．教学知识
了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。
掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。
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掌握数学教学评价的基本知识和方法。 4．教学技能 （1）教学设计
能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。
能够根据《课标》的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。 能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。
能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。
（2）教学实施
能创设合理的数学教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合作交流。
能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。
能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。 （3）教学评价
能采用不同的方式和方法，对学生知识与技能、过程与方法和情感、态度与价值观等方面进行恰当地评价。
能对教师数学教学过程进行评价。
能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。
三 、 试卷结构
模 块 学科知识 比 例 41% 题 型 单项选择题 简 答 题 解 答 题 单项选择题 课程知识 18% 简 答 题 论 述 题 单项选择题 简 答 题 案例分析题 教学设计题 单 项 选 择 题 ： 约27% 非 选 择 题 ： 约73% 教学知识 教学技能 合 计 8% 33% 100% 只供学习与交流
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四、题型示例
1．单项选择题
(x)?xlnx在 (0,??)上是 （1）函数f
A.单调增函数 B.单调减函数 C.上凸函数 D.下凸函数
（2） 在高中数学教学中，课堂小结的方式多种多样。有一种常见的小结方式是：结合板书内容梳理本课教学重点和难点的学习思路，同时提醒学生课下复习其中的要点。这种小结方式的作用在于
A.升华情感，引起共鸣 B.点评议论，提高认识 C.巧设悬念，激发兴趣 D.总结回顾，强化记忆
（3）在高等代数中，有一种线性变换叫做正交变换，即不改变任意两点距离的变换。下列变换中不是正交变换的是
A. 平移变换 B. 旋转变换 C. 反射变换 D. 相似变换
2．简答题
（1）根据下图编一道函数的应用问题
（2）一位教师讲了一堂公开课《函数》，多数听课教师认为他讲出了函数概念的本质，但课堂教学有效性不足，突出表现在课堂提问方面。你认为应注意哪些问题才能提高课堂提问的有效性（请结合自己对《函数》的教学设想来谈）？
3．解答题
已知0 < x1?x2?x3?? ，试证：
4．论述题
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sinx2?sinx3sinx1?sinx2?x1?x2x2?x3此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除
在必修模块中，将平面解析几何内容放在函数与立体几何之后，对这种安排谈谈你的看法。
5．案例分析题
11阅读下列两个对于 ab?a2?b222不等式的教学活动设计，然后回答问题。
设计1：
活动（1）让学生分别取a,b为具体数值，检验该不等式是否成立。
1212的几何意义。 活动（2）讨论： ， , abab22
讨论（1）：三个图形的关系：
讨论（2）：该不等式何时等号成立，何时不等号成立？
活动（3）不等式的严格证明 讨论（3）：若有三个数：a>0,b>0,c>0,是否会有一个什么相应的不等式？
设计2：
11 活动：学生分组讨论不等式 ab?a2?b2的证明方法。 22 学生分组展示，讨论。
请回答如下问题：
（1）分析设计1的教学设计意图。
（2）结合本案例分析合情推理与演绎推理的关系，简述教学
过程中如何引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。 （3）对比分析两个教学设计的理念。
6．教学设计题
就高中数学“人教版教材”必修1第一单元中的函数概念第一课时的内容，设计一个教学方案（将提供教材内容）。
a b
高中数学教材人教版知识点总结 只供学习与交流
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必修1 第一章、集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互
异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：N*或N?，整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称
集合A是集合B的子集。记作A?B.
2、 如果集合A?B，但存在元素x?B，且x?A，则称集合A是集合B的真子集.记作：
AB. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：
A?B. 3、全集、补集？CUA?{x|x?U,且x?U}
运算类型 交 集 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A?B（读作‘A并B’），即A?B ={x|x?A，或x?B})． 补 集 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA，即 CSA={x|x?S,且x?A} S n定 由所有属于A且属义 于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A?B（读作‘A交B’），即A?B=｛x|x?A，且x?B｝． 韦 恩 图 示 ABABA 图1 图2只供学习与交流
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A?A=A 性 A?Φ=Φ A?B=B?A A?B?A 质 A?B?B A?A=A A?Φ=A A?B=B?A A?B?Ａ A?B?B (CuA) ? (CuB) = Cu (A?B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A?B) A? (CuA)=U A? (CuA)= Φ．
§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有惟一确定的数f?x?和它对应，那么就称f:A?B为集合A到集合B的一个函数，记作：y?f?x?,x?A.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且
对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值
1、 注意函数单调性证明的一般格式：
解：设x1,x2??a,b?且x1?x2，则：f?x1??f?x2?=… §1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有f??x??f?x?，那么就称函
数f?x?为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.
2、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域内任意一个x，都有f??x???f?x?，那么就称
函数f?x?为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果xn?a，那么x叫做a 的n次方根。其中n?1,n?N?.
nn2、 当n为奇数时，a?a； 当n为偶数时，a?a.
nn3、 我们规定： ⑴anm?man?a?0,m,n?N*,m?1?； ⑵a?n?1?n?0?； an4、 运算性质： ⑴
aras?ar?s?a?0,r,s?Q?； ⑵
?a?rs?ars?a?0,r,s?Q?； ⑶
?ab?r?arbr?a?0,b?0,r?Q?.
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此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 §2.1.2、指数函数及其性质
1、 记住图象：y?a?a?0,a?1?
x
§2.2.1、对数与对数运算
logNx1、a?N?logaN?x； 2、aa?a. 3、loga1?0，logaa?1.
4、当a?0,a?1,M?0,N?0时：
⑴loga?MN??logaM?logaN； ⑵loga??M?N???logaM?logaN； ⑶?logaMn?nlogaM.
5、换底公式：logab?logcb1 ?a?0,a?1,c?0,c?1,b?0?. 6、logab?logbalogca ?a?0,a?1,b?0,b?1?. §2..2.2、对数函数及其性质
1、 记住图象：y?logax?a?0,a?1?
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
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此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 基本初等函数的图像和基本性质 表1 定义域 值域 指数函数y?a?a?0,a?1? x对数数函数y?logax?a?0,a?1? x??0,??? y?R x?R y??0,??? 图象 过定点(0,1)?? 减函数 增函数 减函数 过定点(1,0) 增函数 x?(??,0)时，y?(1,??x)?(??,0)时，y?(0,1)x?(0,1)时，y?(0,??)x?(0,1)时，y?(??,0))?(1,??)时，y?(??,0)x?(1,??)时，y?(0,??)x?(0,??)时，y?(0,1)x?(0,??)时，y?(1,??x 性 质 a?b a?b a?b a?b ?表2 幂函数y?x(??R) ??p q??0 0???1 ??1 ??1 p为奇数q为奇数 奇函数 只供学习与交流
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p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数 第一象限性质 减函数 增函数 过定点 （01，） 偶函数
第三章、函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程f?x??0有实根?函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ?函数y?f?x?有零点. 2、 性质：如果函数y?f?x?在区间?a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f?a??f?b??0，那么，函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点，即存在c??a,b?，使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积 只供学习与交流
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⑴圆柱侧面积；S侧面?2??r?l ⑵圆锥侧面积：S侧面???r?l ⑶圆台侧面积：
S侧面???r?l???R?l
⑷体积公式：
11S?h；V台体?S上?S上?S下?S下h 334⑸球的表面积和体积： S球?4?R2，V球??R3.
3V柱体?S?h；V锥体?第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。
7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：
⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行：
⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第三章：直线与方程
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