一元二次方程
一、本章知识结构框图
设未知数，列方程 数学问题 实际问题 ax2?bx?c?0(a?0) 开平方法 解方程降次配方法 数学问题的解 公式法 分解因式法 实际问题的答案 检 验 ?b?b2?4ac x?2a
二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
2 （1）明确只有当二次项系数a?0时，整式方程ax?bx?c?0才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程
3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程
（二）、一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：
2(1)开平方法：对于形如x?n或(ax?b)?n(a?0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未
2知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如x?n的方程的解法：
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2当n?0时，x??n; 当n?0时，x1?x2?0; 当n?0时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x?m)2?n的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x?m)2?n的形式； ④求解：若n?0时，方程的解为x??m?n，若n?0时，方程无实数解。
?b?b2?4ac（3）公式法：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根x?
2a2当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
2当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1?x2??22b； 2a当b?4ac?0时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b?4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；④若b?4ac?0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）
（4）因式分解法：
①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若ab?0，则a?0或b?0； ②因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程
①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。
②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程
（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；
（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。
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22（三）、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=b?4ac
2（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax?bx?c?0（a?0）
2?a?0①当??方程有实数根；
??0时?（当??a?0?a?0） ?方程有两个不相等的实数根；当??方程有两个相等的实数根；
???0时???0时?a?0②当??方程无实数根；
??0时?从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
2．常见的问题类型
（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况
（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.
例：求证：方程(a2?1)x2?2ax?(a2?4)?0无实数根。
（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题
（四）、一元二次方程的应用
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
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3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式a(1?x)n?b表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。
（五）新题型与代几综合题
（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）
(3)已知：a,b,c分别是?ABC的三边长，当m?0时，关于x的一元二次方程
c(x2?m)?b(x2?m)?2max?0有两个相等的实数根，求证：?ABC是直角三角形。
（4）已知：a,b,c分别是?ABC的三边长，求证：方程b2x2?(b2?c2?a2)x?c2?0没有实数根。
（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx?4x?4?0与x?4mx?4m?4m?5?0的根都是整数？（m?1）
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222m2?1（6）已知关于x的方程x?2x?2（1）当m为何值时，方程没有实?0，其中m为实数，
x?2x?2m2数根？（2）当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）m??2（2）x??1,?1?2.
（六）相关练习
（一） 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的项与各项系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）5x?2?3x (5x2,?3x,?2) （2）2?6x?15x?0 (6x2,15x,?2) （3）3y(y?1)?7(y?2)?5 (3y2,?4y,?9) （4） (m?m)(m?m)?(m?2)2?7?5m (2m,0,?3) （5）(5a?1)2?4(a?3)2 (3a2,2a,?5)
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m为何值时，关于x的方程(m?2)xm?(m?3)x?4m是一元二次方程。（m??2）
2222x2?7x?8（2）若分式?0，则x? （x?8）
x?1
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
22(1)关于x的一元二次方程(a?1)x?x?a?1?0有一个根为0，则a? （a??1）
2(2)已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有一个根为1，一个根为?1，则a?b?c? ，
a?b?c? （0，0）
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（3）已知c为实数，并且关于x的一元二次方程x?3x?c?0的一个根的相反数是方程x?3x?c?0的一个根，求方程x?3x?c?0的根及c的值。 （0，-3， c=0）
（二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：
2（1）5x?125?0 （x1?5,x2??5） （2）169(x?3)2?289 （x1?2225622,x2?） 1313
（3）y?361?0（原方程无实根） （4）(1?3)m2?0 （m1?m2?0）
22(3x?1)2?1?25?8 （x?（5）） 53
2．配方法解方程：
2（1）x?2x?5?0 （x??1?6） （2）y?5y?1?0 （x?2?5?21） 2
（3）2y?4y??3 （y?1?
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210） 23．公式法解下列方程： （1）3x?6x?2 （x?
（3）7y2?11y （y1?
（5）x?2?(x?2)(2x?1)?3 （x?
4．因式分解法解下列方程： （1）
2（3）8x?10x?3?0（x1?23?3） （2）p2?3?23p （p1?p2?3） 311,y2?0） （4）9n2?5n?2 （原方程无实数根） 73?15） 212x?9?0（x??6） （2）y2?4y?45?0（y1??9,y2?5） 413,x2??） （4）7x2?21x?0 （x1?0,x2?3） 42
（5）6x?33x?22x?6（x1?
（7） (x?3x)?2(x?3)?8?0（x1??2,x2??1,x3??4,x4?1）
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2222322,x2?） （6）(x?5)?2(x?5)?1（x1?x2?6） 235．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）2(2x?7)2?128 （x?
（3）6x(x?2)?(x?2)(x?3) （x1?2,x2?
72?6?2） （2）2m?m2?1?2(m2?2m)2（m?） 223） 53y2?3y(3?2y)y(3y?1)??（4） （y1?,y2?2）
2323
（5）81(2x?5)2?144(x?3)2 （x1?
6．解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：
（1）x?2mx?m?n?0 (x1?m?n,x2?m?n)
（2）x?3a?4ax?2a?1 （x1?3a?1,x2?a?1）
2（3）(m?n)x?2nx?m?n （m?n?0） （x1??1,x2?22222273,x2?） 102m?n ） m?n
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（4）a2(x2?x?1)?a(x2?1)?(a2?1)x （讨论a）
（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：
（1）4x?x?3?7x（有两个不等的实数根） （2）3(x2?2)?4x （无实数根）
（3）4x?5?45x （有两个相等的实数根）
2．k为何值时，关于x的二次方程kx?6x?9?0 （1）有两个不等的实数根 （k?1且k?0） （2）有两个相等的实数根 （k?1） （3）无实数根 （k?1）
2223．已知关于ｘ的方程4x2?(m?2)x?1?m有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．
(m?2,x1?x2?
4．若方程x?2(a?1)x?a?4a?5?0有实数根，求：正整数a. （a?1,a?2,a?3）
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2213或m?10,x1?x2?) 225．对任意实数m，求证：关于x的方程(m2?1)x2?2mx?m2?4?0无实数根.
6．k为何值时，方程(k?1)x2?(2k?3)x?(k?3)?0有实数根.
（当k?1?0时，原方程有一个实数根，x?
4； 5
?k?1?k?1?021?k??当?时，解得?，所以当且k?1时方程有两个实数根。 214k?????0?4?综上所述，当k??
7．设m为整数，且4?m?40时，方程x2?2(2m?3)x?4m2?14m?8?0有两个相异整数根，求m的值及方程的根。（当m=12时，方程的根为x1?16,x2?26；当m=24时，方程的根为x1?38,x2?52）
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21时，方程有实数根.） 4
（四）一元二次方程的应用
1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.（3，4，5，面积为6）
2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数.（84）
3．某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？ (550, 605)
4．某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税） （10℅）
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5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （20元）
6．已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为每分钟1千米，乙的速度每分钟2千米，若正方形广场周长为40千米，问几分钟后，两人相距210千米？ (2分钟后)
7．某科技公司研制一种新产品，决定向银行贷款200万元资金，用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期时一次性还本付息,利息为本金的8%,该产品投放市场后由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外,还盈余72万元,若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数. (20%)
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北8．如图，东西和南北向两条街道交于O点，甲沿东西道由西向东走， 速度是每秒4米，乙沿南北道由南向北走，速度是每秒3米，当乙通 过O点又继续前进50米时，甲刚好通过O点，求这两人在相距85米 时，每个人的位置。（甲离O84米，乙离O13米）
9．已知关于x的方程(n?1)x2?mx?1?0①有两个相等的实数根.
BAOAB东(1)求证：关于y的方程m2y2?2my?m2?2n2?3?0②必有两个相等的实数根。 (2)若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式mn?12n的值。（14）
2k，（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图x象有两个交点？（2）设（1）中的两个公共点为A、B，?AOB是锐角还是钝角？（k?9且k?0；钝角）
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