复合函数的概念 一般地，对于两个函数y?f(u)和u?g(x)，如果通过变量u，
y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y?f(u)和u?g(x)的复合函数，记作
y?f?g(x)?。
复合函数的导数 复合函数y?f?g(x)?的导数和函数y?f(u)和u?g(x)的导数间的关系为yx??yu??ux?，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
??f?g(x)?g?(x) 若y?f?g(x)?，则y???fg(x)???????三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1）y?(2x?3)2；（2）y?e?0.05x?1； （3）y?sin(?x??)（其中?,?均为常数）．
解：（1）函数y?(2x?3)2可以看作函数y?u2和u?2x?3的复合函数。根据复合函数求导法则有
?(u2)'(2x?3)'?4u?8x?12。 yx??yu??ux=
（2）函数y?e数求导法则有
?0.05x?1u可以看作函数y?e和u??0.05x?1的复合函数。根据复合函
?(eu)'(?0.05x?1)'??0.005eu??0.005e?0.05x?1。 yx??yu??ux=
（3）函数y?sin(?x??)可以看作函数y?sinu和u??x??的复合函数。根据复合函数求导法则有
?(sinu)'(?x??)'??cosu??cos(?x??)。 yx??yu??ux=
例2求y?sin(tanx)的导数．
解：y?[sin(tanx)]?cos(tanx)?sec(x)?2x
'2'2222?2xcos(tanx2)?sec2(x2) y'?2xcos(tanx2)?sec2(x2)
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
例3求y?x?ax?2ax2的导数．
1?x2?2ax?(x?a)?解：y?'2x?2a2x2?2ax
x2?2axa2x2?2ax， ???2222(x?2ax)x?2axx?2axa2x2?2ax y??22(x?2ax)'?a2【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例4求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－
12
sin2 x 2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 444【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例5曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－于是切点为P（1，2），Q（－
1或x ＝1． 3114，－）， 327过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为
114|???1|163272． ＝272四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）y?2.求ln(2x?3x?1)的导数 五．回顾总结
六．布置作业
2sin2x;(3)loga(x2?2) 2x?1§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学过程： 一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数
h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像，图3.3-1
（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)?h'(t)??9.8t?6.5的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增
函数．相应地，v(t)?h(t)?0．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减
函数．相应地，v(t)?h(t)?0．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
'' 如
图
3.3-3，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．
在x?x0处，f'(x0)?0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；
在x?x1处，f'(x0)?0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
'在某个区间(a,b)内，如果f(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间内单调递增；如
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