一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G． （1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【解析】 【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值． 【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：
，
或
或
．
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3， 设直线AC解析式为y=kx+3， ∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴G（1，4），GH=4， ∴S△CGO=OC?xG=×3×1=， ∴S△CGE=S△CGO=×=2， ①若点E在x轴正半轴上， 设直线CG：y=k1x+3， ∴k1+3=4 得：k1=1， ∴直线CG解析式：y=x+3， ∴F（-3，0）， ∵E（m，0）， ∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=∴
=2，解得：m=1，
，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等， 即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离， ∴EF=-3-m=1-（-3）=4， 解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴， ∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）， ∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°， ∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3）， ∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?
，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ， ∴t-1-e=3e+3， ∴t=4e+4=
，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3）， ∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?∴t=AP=e-（-1）=?
+1＝
， ，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
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