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班级： 学号： 姓名： 装 订 线 杭州师范大学理学院2011-2012学年第一学期期末考试
《解析几何》试卷（A）
题号 得分 教师签名 一 二
一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。每小题2分，共16分。）
1．点?4,0,3?在空间直角坐标系中的位置是 （ C ）． A．y轴上 B．xOy坐标面上 C．xOz坐标面上 D．第二卦限内 2．设非零向量a，b满足a?b，则必有（ B ）．
A．a?b?a?b B．a?b?a?b C．a?b?a?b D．a?b?a?b 3．设向量a，b，c满足a?b?c?0，则a?b?b?c?c?a? ( A ）． A．3?a?b? B．a?b?c C． 0 D．b?c
?三 四 总分 得分 c??(a?b)则有左式?a?b?b?(a?b)?a?(a?b)?3(a?b)
22????????????4．xOz坐标平面上的直线x?z?1绕z轴旋转而成的曲面方程为（ C ）．
A．x?y?z?1 B．z?x?y?1 C．?z?1??x2?y2 D．?x?1??y2?z2
222225．平面x?2z?0 （ B ）． A．平行xOz坐标平面 B．平行于y轴 C．垂直于y轴 D．通过y轴
x?3y?4z??与平面?:4x?2y?2z?3的位置关系是 （ A ）． ?2?73A．平行 B．垂直相交 C．l在?上 D．相交但不垂直
???? ?v?n?0?v?n，且??3，?4，0?不在平面上。6．直线l:7．下列曲面中表示单叶双曲面的是 （ D ）．
xyzx2y2z2A．2?2?2??1 B．2?2?2?1
abcabcx2y2z2x2y2z2C．2?2?2?0 D．2?2?2?1
abcabc
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8．曲面x2?y2?z2?1与x2?y2?2z的交线是 （ C ）． A．抛物线 B．双曲线 C．圆周 D．椭圆
一个是球，一个是旋转抛物面
二、填空题（每小题2分，共14分.）
1． 自点?a,b,c?分别作yOz坐标平面及z轴的垂线，垂足的坐标分别为
（0，b,c) ，(0,0,c) ．
2．方程y?2z所表示的曲面是母线平行于 X 轴的 抛物 柱面．
222??x?y?z?1223．曲线L:?2对yOz坐标面的射影柱面方程为y?2z?1. 22??x?2y?3z?2得分 24．过点?1,2,3?且与平面x?2y?3z?7平行的平面方程是x?2y?3z?14?0． 设与已知平面平行的平面方程x?2y?3z???0，带入点(1,2,3)???14 5．直线l:x?3y?1z?2??与平面?:3x?y?z?2?0的交点是（1，-2,3）． 21?1设x?2t?3,y?t?1,z?2?t?6t?9?t?1?t?2?2?0?t??1
?交点为(1,?2,3)
6．平面x?2?0的法式方程为?x?2?0(x?2?0)．
????1??1
1?0?0?F?y,z??0227．把曲线?:?绕z轴旋转所得的旋转曲面为F(?x?y,z)?0．
?x?0三、计算题（每小题10分，共50分）
1．已知向量a??2,?3,1?，b??1,?2,3?，求a?b．
得分 ?????3 11 22 ?3?解：a?b??,,??{?7,?5,?1}??7i?5j?k
33 11 ?2???2 ??
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2．求通过点M1?3,?5,1?和M2?4,1,2?且垂直于平面 x?8y?3z?1?0 的平面方程．
?3A?5B?C?D?0解：设所求平面方程为Ax?By?Cz?D?0，带入两点有?,
4A?B?2C?D?0?又平面垂直于平面x?8y?3z?1?0所以有A?8B?3C?0，由以上三个方程得
A:B:C:D?13:?1:?7:?37?平面方程为13x?y?7z?37?0
?x?y?4z?12?0,3．求过点P?2,0,?1?且与直线 ?平行的直线方程．
2x?y?2z?3?0???1 ?4?4 11 ?1?,,??{6.?6.3}， ?2?2 22 1??1 x?2yz?1??0，?1)，所以所求直线的方程为又所求直线过点P(2，。 2?21解：∵已知直线的方向向量为?
?x?y2?z24．设柱面的准线为 ?，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程．
?x?2z?0解：设M1(x1,y1,z1)为准线上任意一点,，则过M1的母线方程为
x?x1y?y1z?z1??， XYZ又已知母线垂直于准线所在平面x?2z?0，则母线的一组方向数为?1,0,?2?，故有母线方程
x?x1y?y1z?z1?x1?y12?z12??，又准线上的点满足?，消去x1,y1,z1， 10?2?x1?2z1?0得到柱面的方程为4x?25y?z?4xz?20x?10z?0
222?z?x25．空间曲线?2绕z轴旋转所得的旋转曲面方程． 2x?y?1?解：Z轴的方向向量为n?{0,0,1}，设母线上任意一点的坐标为P(x1,y1,z1)从而经过P的纬圆方
2?z1?x1??z?z1?22程为?2，又点在已知曲线上，故有P(x,y,z)111?x?y?1 2222211??x?y?z?x1?y1?z1??x2?y2?1?消去x1,y1,z1，得旋转曲面方程为。 ?z?0?
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四、综合题（20分） 已知两直线
得分 lxyz?1x?1y?1z1:1??1?0，l1?1??12:0． 1. 证明：l1与l2为异面直线；（7分） 2. 求l1与l2之间的距离；（7分） 3. 求l1与l2的公垂线方程．（6分）
???????解：1：?l1上的定点为M1(0,0,?1),l2上的定点为M2(1,1,1),?M1M2?{1,1,2}, 直线l1，l?v??1,0},?v??2的方向向量分别为1?{1,2?{1,1,0},， 根据直线位置的判定定理，?=(??????M??v????1 1 21M2,1,v2)?1 ?1 0?4?0?l1,l2异面
1 1 02
直线l?????1 00 11 ?1?1、l2之间公垂线l0的方向数为v1?v2???1 0,0 1,1 1??{0,0,2}??根据二直线间的距离公式d?|??????M1M?(v??2?1?v2)||v???2 1?v2|??x y z?1?1 ?1 0?0(x,y,z),l?3：设公垂线上任意一点P?0 0 21,l2的公垂线方程表示为??x?1 y?1 z?1??1 1 0?0??0 0 2即??x?y?0?y?0?Z轴
?x
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