(3)排列数公式：Am
n＝n(n-1)(n-2)……（n-m+1）这里n,m?N并且m≤n
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,Ann＝n·
(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Am
n！
n＝
?n－m?！
,这里规定0！＝1. 二、组合的相关概念及组合数公式
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用Cmn表示．
(3)组合数的计算公式：Cm
n！n?n－1??n－2?…?n－m＋n＝Amn1?Amm＝m！?n－m?！＝m！
,由于
0！＝1,所以
C0
n＝1. (4)组合数的性质：①Cmn＝Cnn
－m
；②Cmm(m?1)n?1?Cn?Cn.
三、常见策略
①特殊元素“优先法”；②相邻问题“捆绑法”；③间隔问题“插空法”；④单排问题直排法；⑤定序问题“缩倍法”；⑥正难则反“排除法”；⑦先组后排“综合法”. 【特别提醒】
(1)排列与组合的区别：排列的关键词是“排”,即与顺序有关；组合的关键词是“组”,即与顺序无关,排列与组合的共同特征是：不同元素,不放回抽取.
(2)面对一个问题时,首要有意识地区区分该问题是“排列”还是“组合”,同时要分清是无条件限制还是有条件限制问题,如果是有条件限制问题,那么被限制的元素或位置就是解题的突破口,而且注意随时利用分类与分步这两个基本原理,以达到分清层次,分解复杂问题的目的. 【高频考点突破】
考点一 排列数、组合数公式的应用
有关排列、组合的计算问题用排列数、组合数公式的乘积形式为宜,证明问题用排列数、组合数
的阶乘形式为宜,但是要注意公式中m,n条件的适用,以及组合数计算中利用Cmn＝Cnn－
m
优化化简过程.
例1、(1)求等式C5n－1＋C3
n－3
C3＝34中的n值；(2)求不等式1－12n－3
5C3nC4n 【变式探究】(1)解不等式Ax?x?296A6； （2）解方程3A322x?2Ax?1?6Ax. 考点二 相邻问题和相隔问题 对于某些元素要求相邻排列的问题,先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素（同时对相邻元素内部进行自排）,再与其它元素进行排列；对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例2、有四个男生和三个女生排成一排,按下列要求各有多少种不同排法？ （1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头,女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻. 【变式探究】 （1）四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手,则出场方案有几种？ （2）马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关两端的路灯,则满足要求的关灯方法有几种？ 考点三 特殊元素（特殊位置）的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排.多数情况下,其特征是某一个或几个位置不能放置某一个或某几个特殊元素,针对实际问题, 可采用“元素优先”或 “位置优先”. 例3、（1）0、2、3、4、5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个？ （2）用0,1,3,5,7五个数字,可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数？ 【解析】（1）解法一：(元素优先)分两类：第一类,含0,0在个位有A2114种,0在十位有A2A3种； 【变式探究】 用0,1,2,3,4,5这六个数字： ①能组成多少个无重复数字的四位偶数？ ②能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ ③能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ ②符合要求的五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有A45个；个位数 考点四 排列组合应用中的先选后排 例4、（1）有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. （2）从1到9的九个数字中,取3个偶数,4个奇数,能组成多少个没有重复数字,且任意两个偶数不相邻的七位数有多少个？ 【变式探究】 有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法数． (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内,但不担任语文课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表． 考点五 顺序固定问题（或选位不排或先定后插）用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数.或先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列,然后对其它元素进行排列,也可先放好顺序一定元素,再一一插入其它元素. 例5、（1）在一次文艺演出时,原计划有7个节目,演出前有增加了3个节目,现要把这3个节目插入到原有的7个节目中去,有多少种方法？ （2）5人参加百米跑,若无同时到达终点的情况,则甲比乙先到有几种情况？ 【变式探究】信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号.现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）. 解：5面旗全排列有 种挂法,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法, 故共有不同的信号种数是=10（种）. 考点六 分组问题和特殊问题的“隔板法” 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是非均匀分组,无序均匀分组要除以均匀分组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序无关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数. 例6、6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？ （1）一堆一本,一堆两本,一堆三本；（2）甲得一本,乙得两本,丙得三本； （3）一人得一本,一人得二本,一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆. 【变式探究】 （1）5个老师分配到3个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法？ （2）①10个相同小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同方法有 多少种？ ②10个相同小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,每盒可空,问不同的方法有多少种？ ③12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,要求每个盒子中的小球数不小于其编号数,问不同的放法有多少种？ 【经典考题精析】 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】用0,1,2,...9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C.261 D.279 【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理】6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理】将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部 分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且 A,B均在C的同侧,则不同的排法共有________种（用数字作答）. 【2012年高考（重庆理）】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和 其他三门艺 课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答). 【2012年高考（安徽理）】6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交 换一次进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为 （ ） A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 【答案】D 【解析】C26?13?15?13?2 ①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4 【2012年高考（北京理）】从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数, 其中奇数的个数为 （ ） A．24 B．18 C．12 D．6 【2012年高考（大纲理）】将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母 也互不相同,则不同的排列方法共有 （ ） A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种 答案A 【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有3?2?2?12. [2012年高考（辽宁理）]一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （ ） A．3×3! B．3×(3!) 3 C．(3!)4 D．9! [2012年高考（山东理）]现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任 取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （ ） A．232 B．252 C．472 D．484 [2012年高考（陕西理）]两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出 现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （ ） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 【答案】D 【解析】先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有 C124A28种情形; 当比分为3:2时,共有C2A25220种情形;总共有282030种. [2012年高考（新课标理）]将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加 社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A．12种 B．10种 C．?种 D．?种 【答案】A 【解析】甲地由1名教师和2名学生:C1C224?12种 [2012年高考（浙江理）]若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取 法共有 （ ） A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 （2013北京朝阳二模数学理科试题）某岗位安排3名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天,至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有（ ） A．10种B．12种C．18种D．36种 （2013北京丰台二模数学理科）用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字 之间恰有一 奇数数字的五位数的个数是（ ） A．18 B．36 C．54 D．72 （2013北京海淀二模数学理科）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百 位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为（ ） A．32 B．36 C．42 D．48 （2013北京东城高三二模数学理科）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有 一名志愿者的方案共有___种. 【答案】150 【解析】 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树,则有,1,1,3或1,2,2两种分法.若为1,1,3时, 有C335A3?60.若为1,2,2时,有1122C235C4C2A3?90.所以共有150种. 【当堂巩固】 1．四张卡片上分别标有数字2,0,0,9,其中“9”可当“6”用,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( ) A．6 B．12 C．18 D．24 2．已知集合A＝{1,2,3,4},B＝{5,6,7},C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成多少个集合( ) A．24个 B．36个 C．26个 D．27个 答案：C 解析：分三类：C14C13＋C14C12＋C13C1 2＝26. 3．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A班,那么不同的分配方案有( ) A．18种 B．24种 C．54种 D．60种 答案：B 解析：由题意知C12(A33＋C23A2 2)＝24. 4．某人制定了一项旅游计划,从7个旅游城市中选5个进行游览,如果A、B、C为必选城市,并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A、B、C三个城市可以不相邻),则不同的游览线路共有( ) A．80种 B．120种 C．480种 D．600种 5．2010年广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中A和B只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A．48种 B．36种 C．18种 D．12种 6．3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A．360 B．288 C．216 D．96 答案：B 解析：6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有C23A22A33A24＝432种,其中男生甲站两端的排法有C23A22A23A22A12＝144种,故符合条件的排法共有432－144＝288种． 7.一副扑克牌去掉两张王后还有52张,将牌发给4个人,每人13张,则某人活得的13张牌中花色齐全的情况数为 （ ） A. （C14813131313113213313 13）C48 B. C52-4C39-6C26-4 C. C52-C4C39+C4C26-C4C13 D. C13C11321352-4C39+C4C26 8.6名运动员站住6条跑道上准备参加比赛,其中甲不能站第二道也不能站第一道,乙必须站在第五道或第六道,则不同的排法种数共有（ ） A.144 B.96 C.72 D.48 答案：A 解析：先为乙选一道C11A41142,再为甲选一道C3,余下4个人有4,则共有C2C3A4=144. 9．有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代表,则不同的选法共有________种(用数字作答)． 答案：840 解析：由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有A47＝840种． 10．从集合{O,P,Q,R,S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)． 答案：8 424 解析：问题分为两类：一类是字母O、Q和数字0出现一个,则有(C13·C29·C12＋C23·C19)·A44种；另一类是三者均不出现,则有C23·C29·A44种．故共有(C13C29C12＋C23·C19＋C23·C29)·A44 ＝8 424种． 11．如果把个位数是1,且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个(用数字作答)． 12.2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事 翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________． 13.研究性学习小组有4名同学要在同一天的上、下午到实验室做A,B,C,D,E五个操作实验,每位同 学上、下午各做一个实验,且不重复,若上午不能做D实验,下午不能做E实验,则不同的安排方式共有_______种． 14.某车队有7辆车,现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)． 答案：120 解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C25种选法,连同甲、乙共4辆车,排列在一起,选从4个位 置中选两个位置安排甲、乙,甲在乙前共有C24种,最后安排其他两辆车共有A22种方法,∴不同的调度方法为C25·C24· A22＝120种． 15．男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)至少有1名女运动员； (2)既要有队长,又要有女运动员． 16．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子．问： (1)共有多少种放法？ (2)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法？ 17．有五张卡片,它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数？ 解：法一：(直接法)：从0与1两个特殊值着眼,可分三类： ①取0不取1,可先从另四张卡片中选一张作百位,有C14种方法；0可在后两位,有C1 2种方法；最后从 剩下的三张中任取一张,有C13种方法；又除含0的那张外,其他两张都有正面或反面两种可能 , 18．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字．．．．． 的自然数. （Ⅰ）在组成的三位数中,求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
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