1．[2015·浙江高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是π12
22
a，b，c.已知A＝4，b－a＝2c.
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
12112
2
解 (1)由b－a＝2c及正弦定理得sinB－2＝2sinC，所以－
2
2
cos2B＝sin2C.
π3
又由A＝4，即B＋C＝4π，得
－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2. 255
(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝5，cosC＝5. ?π?310
又因为sinB＝sin(A＋C)＝sin?4＋C?，所以sinB＝10. ?
?
22
由正弦定理得c＝3b，
π1
又因为A＝4，2bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3. 2．[2015·福建高考]
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.
(1)若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO； (2)求三棱锥P－ABC体积的最大值；
(3)若BC＝2，点E在线段PB上，求CE＋OE的最小值．
解 所以AC⊥DO.
(1)证明：如图，在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC. 因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO. (2)因为点C在圆O上，
所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1. 1
又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为2×2×1＝1.
又三棱锥P－ABC的高PO＝1，
11
故三棱锥P－ABC体积的最大值为3×1×1＝3. (3)解法一：在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°， 所以PB＝12＋12＝2.
同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC.
在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．
当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值． 又OP＝OB，C′P＝C′B，
所以OC′垂直平分PB，即E为PB的中点， 2＋626
从而OC′＝OE＋EC′＝2＋2＝2， 2＋6
所以CE＋OE的最小值为2. 解法二：(1)、(2)同解法一．
在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°， 所以∠OPB＝45°，PB＝12＋12＝2.同理PC＝2. 所以PB＝PC＝BC，所以∠CPB＝60°.
在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．
当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值． 所以在△OC′P中，由余弦定理得：
OC′2＝1＋2－2×1×2×cos(45°＋60°)＝1＋2－22
?2123???＝2＋3. ××－×222??2
从而OC′＝
2＋6
2＋3＝2.
2＋6
所以CE＋OE的最小值为2. 3．甲、乙两名同学参加“中学生辩论赛”选拔性测试．在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩(单位：分)如表所示．
甲 乙 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 58 65 55 82 76 87 92 85 88 95 (1)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图．你认为选派谁参赛更好？请说明理由(不用计算)；
(2)若从甲、乙两人5次测试的成绩中各随机抽取1次进行分析，求抽到的2次成绩中至少有1次高于90分的概率．
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