（
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D停止，求抛物线上C ,E两
点间的抛物线弧所扫过的面积． y
x
（第24题）
1y??x?1
2台
州
24
题
解
析
）
（
1
）
2009年浙江
C(3,2),D(1,3)；…………………………………………………2分
（2）设抛物线为y?ax?bx?c，抛物线过(0,1),(3,2),(1,3)，
25?a??,?6?c?1,???17 ?a?b?c?3,解得?b?,…………………………………………………2分
6?9a?3b?c?2.???c?1.??∴y??5217x?x?1．……………………………………………………………1分 66（3）①当点A运动到点F时，t?1,
当0?t?1时，如图1，
∵?OFA??GFB'， tan?OFA?OA1?, OF2∴tan?GFB'?5GB'GB'1t, ??,∴GB'?2FB'5t2图1
∴S?FB'G?115t52FB'?GB'??5t??t；……2分 2224 ②当点C运动到x轴上时，t?2，
当1?t?2时，如图2，
A'B'?AB?22?12?5,
图2
图3
（解法不同的按踩分点给分）
（4）∵t?3,BB'?AA'?35,
∴A'F?5t?5,∴A'G?5t?52， ∵B'H?5t2， ∴S1梯形A'B'HG?2（A'G?B'H)?A'B' ?12(5t?52?5t2)?5 ?552t?4；…………（2分） ③当点D运动到x轴上时，t?3，
当2?t?3时，如图3， ∵A'G?5t?52， ∴GD'?5?5t?535?52?t2， ∵S?AOF?12?1?2?1,OA?1， ?AOF∽?GD'H
S?GD'HS?(GD'OA)2，
?AOFS5?5t?GD'H?(32)2， S35?5t五边形GA'B'C'H?（5）2?（2)2 =?54t2?152t?254．………（2分）∴
∴∴ ∴S阴影?S矩形BB'C'C?S矩形AA'D'D ………………………………………………（2分） =AD?AA'
=5?35?15．……………………………………………………………（1分）
图4
107.（2009年浙江义乌）24．已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图像的伴侣正方形。例如：如图，正方形ABCD是一次函数y?x?1图像的其中一个伴侣正方形。
（1）若某函数是一次函数y?x?1，求它的图像的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数y?k(k?0)，他的图像的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）x2（m <2）在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数解析式；
（3）若某函数是二次函数y?ax?c(a?0)，它的图像的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）.写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 # .，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 # .，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ # .。(本小题只需直接写出答案)
（2009年浙江义乌24题解析）解：（1）如图1，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴
上时，正方形ABCD的边长为2； ···················· 1分 当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时， 设正方形的边长为a， 易得3a?2． ··············································· 2分 21，所以正方形边长为············ 3分 2． ·33y 3 D 1 B A E O 1 2 3 图2 2 F C 解得a?（2）如图2，作DE，CF分别垂直于x、y轴， 易知△ADE≌△BAO≌△CBF． ···················· 1分 此时，m?2，DE?OA?BF?m， OB?CF?AE?2?m， ?OF?BF?OB?2，
x ··············································································· 2分 2)， ·?C点坐标为(2?m，··········································································· 3分 ?2m?2(2?m)解得m?1． 反比例函数的解析式为y?2． ········································································· 4分 x（3）(?1························································· 3分 ，3)；(7，?3)；(?4，7)；(4，1)． ·（写对1个1分，2个或3个2分，4个3分） 对应的抛物线分别为y?12237223； x?；y??x2?88404031355···································································· 4分 y?x2?；y??x2?． ·
7777所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数． ··················································· 5分 108.（2009年浙江舟山）24. （本题12分）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上．
(1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最
短，求出点Q的坐标；
(2) 平移抛物线y?ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，
0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点． ① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最
短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． y A 8
6
4
D C -4 -2 O -2 -4 2 B 2 4 x (第24题)
（2009年浙江舟山24题解析）解：(1) 将点A(-4，8)的坐标代入y?ax2，解得a?
A y 8 6 4 D C -4 -2 O Q 2 4 x -2 P -4 (第24题(1)) 2 B 1． 2 ……1分
12x，求得点B的坐标为(2，2)， 2则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． ……1分 将点B(2，n)的坐标代入y?54直线AP的解析式是y??x?．
33令y=0，得x? ……1分 ……1分 ……1分
44．即所求点Q的坐标是(，0)． 55414︱=， 55
(2)① 解法1：CQ=︱-2-故将抛物线y?A′ y 8 6 4 B′ 2 D C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 A′′ 1214x向左平移个单位时，A′C+CB′最短， 25……2分
……1分
114此时抛物线的函数解析式为y?(x?)2．
25解法2：设将抛物线y?12x向左平移m个单位，则平移后A′，B′2的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．
554直线A′′B′的解析式为y?x?m?．
333 ……1分
要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，
(第24题(2)①) ……1分 ……1分
将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得m?故将抛物线y?14． 5
1214x向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为25
……1分
114y?(x?)2．
25② 左右平移抛物线y?A′ 8 6 4 B′′ B′ D C -4 -2 O -2 -4 A′′ 12x，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的2周长最短，只要使A′D+CB′最短； y ……1分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．……1分
2 第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐
2 4 x 标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，
直线A′′B′′的解析式为y?(第24题(2)②) 55要使A′D+DB′′最短，点Dx?b?2．
22
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