4.1.2 圆的一般方程
（一）教学目标1．知识与技能
（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.
（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法
通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.
3．情感态度与价值观
渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.
（二）教学重点、难点
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学环节 教学内容 问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程.师生互动 设计意图 利用圆的标准方程解决此问题显课题然有些麻烦，得用直线的知识解决又有让学生带着问题进行思考 设疑激趣导入课题. 引入 其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 概念形成与深化 请同学们写出圆的标准方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r.把圆的标准方程展开，并整理：x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0.整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳.圆的一般方程的特点：通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – （1）①x2和y2的系数相 1
r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0①这个方程是圆的方程.同，不等于0.身体会圆②没有xy这样的二次项.的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件. 反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得程就确定了.D2E2D2?E2?4F②(配(x?)?(y?)?224（3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？（1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以(?DE,?)为圆心，221D2?E2?4F为半径的圆；2（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解x??DE,y??，即只表示22一个点(?DE,?)；22（3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆.只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的表示圆的方程称为圆的一般方程. 例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆应用举例 心及半径.学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式.②运用圆的一 通过例题讲解使学生理（1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0般方程的判断方法求解.但是，解圆的一（2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0解析：（1）将原方程变为要注意对于（1）4x2 + 4y2 – 4x 般方程的+ 12y + 9 = 0来说，这里的D = 代数特征 2
x2 + y2 – x + 3y += 09D = –1，E =3，F =.494–1，E = 3，F?及与标准9而不是D = 4方程的相互转化更进一步培–4，E = 12，F = 9. ∵D2 + E2 – 4F = 1＞0养学生探索发现及分析解决问题的能13∴此方程表示圆，圆心（，?），22半径r =.12力. （2）将原方程化为x2 + y2 – x + 3y +11= 04D = –1，E =3，F =11.4D2 + E2 – 4F = –1＜0∴此方程不表示圆. 例2 求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.例2 讲完后学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 1．根据题设，选择标准方程或一般方程. 2．根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 3．解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程. 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0∵A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：?F?0?即?D?E?F?2?0?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D= –8，E=6，F = 0∴所求圆的方程为：x2 + y2 – 8x + 3
6y = 0r?1D2?E2?4F?5；2?DF?4,???3.22得圆心坐标为(4，–3).或将x2 + y2 – 8x + 6y = 0左边配方化为圆的标准方程，(x – 4)2 + (y + 3)2 = 25，从而求出圆的半径r = 5，圆心坐标为(4，–3). 例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上(x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)由于点B的坐标是(4，3)且M是线段AB中重点，所以 x?x0?4y?3,y?0，① 22于是有x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 因为点A在圆(x + 1) + y = 4上运动，所以点A的坐标满足方程(x + 1) + y2 = 4，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ② 把①代入②，得 (2x – 4 + 1) + (2y – 3) = 4， 整理得(x?)2?(y?)2?1 3322323222222教师和学生一起分析解题思路，再由教师板书. 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点所以，点M的轨迹是以(,)为圆心，半径长为1的圆. y M A O x B M的轨迹方程. 课堂练习：课堂练习P130第1、2、3题.
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