3.2 对数与对数函数
解读对数概念及运算
对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．
一、对数的概念
对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N?logaN＝b(a>0，且a≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)logaab＝b；(2)alogaN＝N.
1
例1 计算：log22＋log51＋log327＋9log32.
分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值． 解 原式＝1＋0＋log33－3＋(3log32)2＝1－3＋4＝2.
点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．
二、对数的运算法则
常用的对数运算法则有：对于M>0，N>0. (1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
M
(2)logaN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM.
7
例2 计算：lg 14－2lg 3＋lg 7－lg 18.
分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得
原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用． 三、对数换底公式
根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：
logcb
logab＝loga(a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0)．
c
由对数换底公式又可得到两个重要结论： (1)logab·logba＝1；
mm
(2)loganb＝nlogab.
log32
例3 计算：(log25＋log4125)×.
log35
分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．
3log32
解 原式＝(log25＋2log25)×2log5
3
515＝2log25×2log52＝4. 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．
通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．
对数换底公式的证明及应用
logcN
设a>0，c>0且a≠1，c≠1，N>0，则有logaN＝loga，这个公
c
式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：
证明 记p＝logaN，则ap＝N.*
*式两边同时取以c为底的对数(c>0且c≠1)得 logcap＝logcN，即plogca＝logcN.
logcNlogcN
所以p＝loga，即logaN＝loga.
cc
推论1：logab·logba＝1.
mm
推论2：loganb＝nlogab(a>0且a≠1，b>0)． 例4 (1)已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值； (2)求log23·log34·log45·…·log6364的值．
lg 9
解 (1)因为log189＝a,18＝5，所以lg 18＝a.
b
所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. lg?5×9?lg 5＋lg 9
所以log3645＝182＝
2lg 18－lg 9lg9blg 18＋alg 18b＋a
＝＝. 2lg 18－alg 182－a(2)log23·log34·log45·…·log6364 lg 3lg 4lg 5lg 64＝lg 2·…·lg 3·lg 4·lg 63 lg 646lg 2＝lg 2＝lg 2＝6.
点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．
15
例5 已知2log8a＋log4b＝2，log8b＋log4a2＝7，求ab的值．
115??6log2a＋2log2b＝2，
解 由已知可得?
1??3log2b＋log2a＝7，
?log2a＋3log2b＝15，
即?
?3log2a＋log2b＝21.
?log2a＝6，解得?
?log2b＝3.
所以a＝26，b＝23.故ab＝26·23＝512.
点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．
logaMlogbM此外还有下面的关系式：logNM＝logN＝logN；
a
b
logaM·logbN＝logaN·logbM； logaMlogaN
logbM＝logbN＝logab；
NlogaM＝MlogaN.
对数函数图象及性质的简单应用
对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．
一、求函数的单调区间
例6 画出函数y＝log2x2的图象，并根据图象指出它的单调区间．
解 当x≠0时，函数y＝log2x2满足 f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)，
所以y＝log2x2是偶函数，它的图象关于y轴对称． 当x>0时，y＝log2x2＝2log2x，
因此先画出y＝2log2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对称的图象C2，C1与C2构成函数y＝log2x2的图象，如图所示．
由图象可以知道函数y＝log2x2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．
点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．
二、利用图象求参数的值
例7 若函数f(x)＝loga(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于( )
12
A.3 B.2 C.2 D．2
解析 当a>1时，f(x)＝loga(x＋1)的图象如图所示． f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]， 所以f(1)＝1，即loga(1＋1)＝1，
所以a＝2，
当0 点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论； (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)． 三、利用图象比较实数的大小 例8 已知logm2 解 在同一直角坐标系中作出函数y＝logmx与y＝lognx的图象如图所示，再作x＝2的直线，可得m>n. 点评 不同底的对数函数图象的规律是： (1)底都大于1时，底大图低(即在x>1的部分底越大图象就越接近x轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0 四、利用图象判断方程根的个数 例9 已知关于x的方程|log3x|＝a，讨论a的值来确定方程根的个数． 解 因为y＝|log3x| ?log3x， x>1，＝? ?－log3x， 0 在同一直角坐标系中作出函数与y＝a的图象，如图可知： (1)当a<0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0； (2)当a＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个； (3)当a>0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．
相关推荐：
loading