最新09考研高等数学强化讲义(第七章)全

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第七章 多元函数积分学

§7.1 二重积分

（甲）内容要点

一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 口诀（40）：多重积分的计算，累次积分最关键。 模型I：设有界闭区域

?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，Record If...?在?Skip Record If...?上连续，则 ?Skip Record If...? 模型II：设有界闭区域

?Skip Record If...?

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其中?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续 则?Skip Record If...?

关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II，把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域?Skip Record If...?如果既不符合模型I中关于?Skip Record If...?的要求，又不符合模型II中关于?Skip Record If...?的要求，那么就需要把?Skip Record If...?分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。

在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域?Skip Record If...?，然后根据?Skip Record If...?再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。

口诀（41）：交换积分的顺序，先要化为重积分。

二、在极坐标系中化二重积分为累次积分

在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定?Skip Record If...?对?Skip Record If...?进行积分，然后再对?Skip Record If...?进行积分，由于区域?Skip Record If...?的不同类型，也有几种常用的模型。 模型I 设有界闭区域

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?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续，?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续。 则

?Skip Record If...? 模型II 设有界闭区域

?Skip Record If...?

其中?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续， ?Skip Record If...?在?Skip Record If...?上连续。 则

?Skip Record If...?

（乙）典型例题

一、二重积分的计算

例1．计算?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?由?Skip Record If...?，?Skip Record If...?和?Skip Record If...?轴所围区域

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解：如果?Skip Record If...?

那么先对?Skip Record If...?求原函数就不行，故考虑另一种顺序的累次积分。

?Skip Record If...?

这时先对?Skip Record If...?积分，?Skip Record If...?当作常数处理就可以了。 原式?Skip Record If...? 例2．计算?Skip Record If...?

解：原式?Skip Record If...? ?Skip Record If...? =?Skip Record If...? =?Skip Record If...? 例3．求?Skip Record If...? ?Skip Record If...?

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