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P1、P2分别作x轴的垂线，垂足为M、N，求证OQ是OM和ON的比例中项．
分析 要证明OQ是OM和ON的比例中项，就是要证明OQ2?OMON，而
OM、ON和OQ分别是点P1、P2和Ｑ的横坐标．因此，证明这个等式的关键是求这三
点的横坐标的关系式．
证明：设点P1、P2的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，则直线P1P2的方程为
y?y1x?x1? ①
y2?y1x2?x1由于点Ｑ是直线P1P2和x轴的交点，令y＝０得点Ｑ的横坐标为x?x2y1?x1y2．
y1?y2点P1和P2分别在x轴的上方和下方，不妨设点P1在x轴的上方，点P2在x轴的下方，则y1?2px1，y2??2px2．代入①，得x?2x22px1?x12px22px1?2px2＝x1x2，
所以OQ2?OMON即证得OQ是OM和ON的比例中项．点评 抛物线
?y2?y?2px上的点常可设成x,?2px或??2p,y??的形式，这样易通过坐标解题．
????例４ 已知抛物线y2=4ax(a＞0)的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点．
（1）求a的取值范围；（2）求|AM|＋|AN|的值；
（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？
分析 由圆与抛物线相交，得圆的方程与抛物线的方程组成的方程组有实数解，从而求a的取值范围．|AM|、|AN|是抛物线上两点M、N与其焦点A的连线段的长，即为两点M、N的焦半径，从而用抛物线的焦半径公式求解（2），（3）两小题．
解 (1) 设M (x1，y1 )，N (x2，y2)，P (x0，y0 ) 则[ x—（a ＋4）]2 ＋ y2 = 16 ( y≥0) 用y2 = 4ax (a>0) 代入得x2 ＋ 2 (a—4)x ＋ 8a ＋ a2 = 0 由
△= ( a—4)2 — (8a ＋ 4a2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A为焦点 ∴ |AM| ＋ |AN| = (x1 ＋ a ) ＋ (x2 ＋ a) = x1 ＋ x2 ＋ 2a = 8—2a ＋ 2a = 8．
(3) △AMN中，AP为MN边上的中线，由平面几何知识，|AM|+|AN|>2|AP|，∴不存在实
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数a，使AM|,|AP|,|AN|成等差数列． 【知能集成】
1．抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离（动点到焦点的距离与动点到准线的距离）的互化．（常用定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，把焦点弦长转化为点到准线的距离）．
2．抛物线有四种标准方程形式y＝±2px和x＝±2py（p＞0）其中“±”决定图形开口（“＋”号代表朝正方向，“—” 号代表朝负方向）． 3．抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离．
22y224．抛物线y＝2px（p＞0）上的点可设为（，y）或（2pt，2pt）形式，二元转
2p2化为一元，方便解题． 【训练反馈】
1、 顶点在原点，准线为y=4的抛物线方程为（ ）
A．2、抛物线方程为
B． C． D．
，则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3、顶点为原点，抛物线对称轴为y轴，且过点（－4，5），则抛物线的准线方程为 （ ）
A． B． C． D．
4、抛物线的焦点为F，过F且垂直抛物线轴的弦长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 ５、已知：Ｐ为抛物线ｙ＝
12Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1，1)，则｜x上的任意一点，
4PF｜＋｜PA｜的最小值为 （ ）
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A．
17 B．2 C．2?1 D．2?1 16６、抛物线的焦点是（2，1），准线方程是x＋y＋1=0，则抛物线的顶点是（ ）
A．（0，0） B．（1，0） C．（0，－1） D．（1，1） ７、抛物线
为 ．
8． 已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=－x对称，则C2的准线方程是 ． ９．已知抛物线y?2x及定点A(1,1),B(?1,0),M是抛物线上的点，设直线AM,BM与
抛物线的另一交点分别为M1,M2．求证：当点M在抛物线上变动时（只要M1,M2存在且M1与M2是不同两点），直线M1M2恒过一定点，并求出定点的坐标 1０．在直角坐标系中，已知点F?为直径的圆与y轴相切． （1） 点A的轨迹C的方程；
（2） PQ为过F点且平行于y轴的曲线C的弦，试判断PB与QB与曲线C的位置关系． （3） M1M2是曲线C的平行于y轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M，试
证明点M在曲线C上．
?p?， 设点F关于原点的对称点为B，以线段FA,0?（p>0）
?2?2上一点横坐标为－9，它到焦点的距离为10，这点的坐标
第4课 直线和圆锥曲线
【考点指津】
熟练运用圆锥曲线弦长公式进行计算及论证；善于运用数形结合、等价转化的数学思想方法，借助韦达定理、二次方程根的判别式，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程的实根分布加以讨论． 【知识在线】
1．过点（2，4）作直线与抛物线y?8x有且只有一个公共点，这样的直线有（ ）
Ａ．一条 Ｂ．两条 Ｃ．三条 Ｄ．四条
2x2y2??1恒有公共点，则m的取值范围是（ ） ２．直线y?kx?1(k?R)与椭圆5mＡ．?1,5???5,??? Ｂ．（０，５） Ｃ．?1,??? Ｄ．（１，５）
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３．以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是( )
A 不能确定 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线
５．斜率为２的直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若弦长AB?25，则
y1?y2? ．
６．双曲线x?y?1的左焦点为Ｆ，点Ｐ为左支下半支上的动点（异于顶点），则直线Ｐ
Ｆ的斜率的范围是 ． 【讲练平台】
例１ 讨论直线l:y?kx?1与双曲线C:x?y?1的公共点的个数．
分析 直线与圆锥曲线公共点的个数问题的讨论实际上是相应方程组的解的问题． 解 联立直线与双曲线方程 y?kx?1
x?y?1 消去y得， (1?k)x?2kx?2?0
222222221?k2?0即k??1时，
x??1．当
1?k2?0即k??1时，
??4k2?8(1?k2)?8?4k2．由??0得?2?k?2；由??0得k??2；
由??0得k??2或k?2．所以当k??2,?1???1,1??1,2时，直线l与双曲
????线Ｃ相交于两点；当k??2时，直线l与双曲线Ｃ相切于一点；当k??1时，直线l与双曲线Ｃ相交于一点； 当k?,???2????2,??时，直线l与双曲线Ｃ没有公共点，直线l与双曲线Ｃ相离．
2?点评 该题讨论了过定（０，１）的直线系与等轴双曲线的位置关系．按1?k是否等于０来分类讨论．容易犯的两个错误一是不讨论二次项系数为零的情况，二是讨论判别式时，丢掉前提条件二次项系数不为零．
x2y2??1内，求通过点Ｍ（１，１）且被这点平分的弦ＡＢ所在直线例２ 在椭圆164的方程．
分析 题中已知点Ｍ是弦ＡＢ的中点，是直线与圆锥曲线的位置关系中的常见的“中点”问题．用中点坐标公式与韦达定理求直线AB的斜率，从而求得弦ＡＢ所在直线的方程．
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