高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

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高中数学奥赛讲义：

竞赛中常用的重要不等式

【内容综述】

本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用

【要点讲解】 目录 §1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。 柯西不等式 定理1 对任意实数组

恒有不等式“积和方不大于方和积”，即

等式当且仅当

本不等式称为柯西不等式。

时成立。

思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1

∴右-左=

当且仅当 思路2 注意到 证明2 当 当

定值时，等式成立。 时不等式显然成立，当

时，不等式

左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

时等式成立； 时，注意到

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=1

故

当且仅当

且

（两次放缩等式成立条件要一致）

即 同号且 常数，

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亦即

思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数

由于

。

恒非负，故其判别式

即有

等式当且仅当 若

常数时成立。

柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：

调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证 设

本题即是欲证：

本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法

(1)先证 注意到 此即

由柯西不等式,易知②成立,从而①真

欲证①,即需证

②

①

(11)再证

欲证③,只需证

, ③

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而④即要证

④

⑤

(注意

由柯西不等式,知⑤成立. (Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是

)

即各正数彼此相等.

说明：若再利用熟知的关系(★)

（其中，结合代换，

即 当且仅当式链

时，等式成立，

说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等

其中等式成产条件都是 §２．排序不等式 定理２设有两组实数，

满足

．

则

(例序积和) （乱序积和） （须序积和）

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其中是实数组时成立。

一个排列，等式当且仅当或

说明 本不等式称排序不等式，俗称 例序积和乱序积和须序积和。 证法一． 逐步调整法 首先注意到数组

也是有限个数的集合，从而

也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。

设

注意下面的两个和

注意 S

（★）

由小到大的顺序排列，最小的和就对应

只要适当调整，如★所示就可越调

，

可见和数Ｓ中最大的和，只能是对应数组数组

从大到小的依序排列，不符合如此须序的

越大（小），其中ｉ＝１，２……，n。 证法＝ 设 由 则显见

的一个k阶子集

等式当且仅当 式