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2019_2020学年高中数学阶段评估(一)北师大版必修3

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阶段评估(一)

时间:45分钟

一、选择题(6×5=30分)

1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( ) A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B.可口可乐公司从仓库的1 000瓶可乐中一次性抽取20瓶进行质量检查 C.某连队从200名战士中,挑选出50名最优秀的战士参加抢险救灾

D.从10个手机中不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号,对编号随机抽取)

解析:选D A中平面直角坐标系中有无数个点,不是简单随机抽样;B中是一次性抽取20瓶,不符合逐个抽取的特点,故不是简单随机抽样;C中50名战士是最优秀的,不是等可能抽取,所以不是简单随机抽样;D是简单随机抽样.

2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量n为( )

A.50 C.70

15解析:选C 由题意得=

B.60 D.80

满分:100分

n3315×14

=,得n==70.

3+4+7143

3.根据某市环境保护局公布2008~2013这六年的空气质量优良的天数,绘制成折线图如图,根据图中的信息可知,这六年的每年空气质量优良天数的中位数是( )

A.300 C.305

B.302.5 D.310

300+305

解析:选B 该组数据为290,295,300,305,305,315,共6个数,中位数为=

2302.5.

4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的

学生人数为( )

A.588 C.450

B.480 D.120

解析:选B 根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.005+0.015)=0.8.由于该校高一年级共有学生600人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60分的人数为600×0.8=480(人).

5.(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )

A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7

解析:选A 根据两组数据的中位数相等可得65=60+y,解得y=5,又它们的平均值相等,所以

56+62+65+74+?70+x?

5

59+61+67+?60+y?+78

,解得x=3.

5

6.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是( )

A.平均数为10,方差为2 B.平均数为11,方差为3 C.平均数为11,方差为2 D.平均数为12,方差为4

解析:选C 由平均数及方差的计算公式知,新数据的平均数为10+1=11,方差不变,还是2.

二、填空题(3×5=15分)

7.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶4∶3,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.

4

解析:50×=20.

3+4+3答案:20

8.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下:0001,0002,0003,…,1000,打算从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法把编号分成50个部分,如果第一部分编号为0001,0002,0003,…,0020,第一部分随机抽取一个号码为0015,那么抽取的第40个号码为________.

解析:第40个号码为0015+39×20=0795. 答案:0795

9.为了解某校高三学生身体状况,用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重,将男生体重数据整理后,画出了频率分布直方图,已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,若全校男、女生比例为3∶2,则全校抽取学生数为________.

解析:∵第四小组和第五小组的频率之和为(0.037 5+0.012 5)×5=0.25,∴前三组2

的频率之和为1-0.25=0.75.∴第二小组的频率为0.75×=0.25.又第二小组的频数为

62

12,∴抽取的男生人数为12÷0.25=48.∴抽取的女生人数为48×=32,∴全校共抽取48

3+32=80(人).

答案:80

三、解答题(55分)

10.(13分)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图,若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,前3组数据的频数之和为27.

(1)求n的值;

(2)若从这n个人中任取一个,落在第三组的频率是多少?

解:(1)设第一组至第六组的样本数据的频数分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,则2x+3x+

4x=27,

∴x=3,∴n=20x=60.

(2)由(1)知第三组人数为4x=12, 121

∴落在第三组的频率为=.

605

11.(13分)要加工一圆形零件,按图纸要求,直径为10 mm,现在由甲、乙两人加工此种零件,在他们的产品中各抽5件测得直径如下:

甲:10.05 10.02 9.97 9.96 10.00 乙:10.00 10.01 10.02 9.97 10.00 问甲、乙两人谁生产的零件较好?

1

解:x甲=(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10.

5

22222

s2甲=[(10.05-10)+(10.02-10)+(9.97-10)+(9.96-10)+(10.00-10)]=

1

5

0.001 08.

x乙=(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10.

22222

s2乙=[(10.00-10)+(10.01-10)+(10.02-10)+(9.97-10)+(10.00-10)]=

1

5

15

0.000 28.

由计算可知两者样本均值相同,前者样本方差较大,由此估计乙生产的零件质量较好. 12.(14分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求直方图中的a值;

(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.

解:(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04. 同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.

由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,

解得a=0.30.

(2)由(1)可知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上样本的频率分布,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.

(3)设中位数为x吨.

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5, 而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5, 所以2

由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.

13.(15分)(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

y的分组 企业数 [-0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80) 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附:74≈8.602.

解:(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40+7的企业频率为=0.21.

100

产值负增长的企业频率为

2

=0.02. 100

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

(2)y=

1

×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, 100

15

s=?ni(yi-y)2

100i=1

2

122222

×[(-0.40)×2+(-0.20)×24+0×53+0.20×14+0.40×7]=0.029 6, 100

s=0.029 6=0.02×74≈0.17.

所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.

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