四、习题参考答案
（一）基本知识类题型
3-1．解释下列概念
（1）在现实经济活动中往往存在一个被解释变量受到多个解释变量的影响的现象，表现为在线性回归模型中有多个解释变量，这样的模型被称为多元线性回归模型，多元指多个解释变量。
?的关于参数估计值的线性代数方程组称为正规方程组。 （2）形如???????B3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均为线性。
3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更复杂；
3-4．在多元线性回归模型中，参数的最小二乘估计量具备线性、无偏性、最小方差性，同时多元线性回归模型满足经典假定，所以此时的最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量，又称BLUE估计量。对于多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，
3-5．答：多元线性回归模型的基本假定有：零均值假定、随机项独立同方差假定、解释变量的非随机性假定、解释变量之间不存在线性相关关系假定、随机误差项ui服从均值为0方差为?的正态分布假定。在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量与随机误差项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
3-6．答：区间估计是指研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围。 （二）基本证明与问答类题型
3-7．答：含有待估关系估计量的方程组称为正规方程组。 正规方程组的非矩阵形式如下：
2
????x???x?????x)?0??yi??(?011i22ikki???????yix1i??(?0??1x1i??2x2i????kxki)x1i?0?????x???x?????x)x?0 ??yix2i??(?011i22ikki2i??????????yixki??(?0??1x1i??2x2i????kxki)xki?0正规方程组的矩阵形式如下：
? ???????B推导过程略。
3-16．解：
（1）证明：由参数估计公式可得下列参数估计值
?2????x??x2i?i?x?2i)(y??3i(yi?x2i)22i?x??x??x2i23i2i3i23i3i???x??x?x?x???x?x?y??x?x???x?x?y???x?x?x?x??????xxx???x?x???x??x?x?x2i3i2i3ii2i3i22ii23i2i22i2i3i22i2i3i23i2i3i3i?x??x??x?x??x??x2i23i2i23i3i
3i??1??2??(y??x?)?x?x?x??(y??x?)xx?????x??x?x?x???x?x??y???x?x?x?x??y??x?x?x?x???????x?xx?x?x???x??x?x?x22i2ii2i2i3i3ii2i22i2i3i2i3i23i22i2i3ii22i2i3ii2i22i2i3i22i2i3i23i2i?3??3i3i??x?x??x?x??x??x22i2i2i23i3i3i
???3?1?y?x???2x2???3x3??2)x2???3x3?y?(1???x???x?y??2233???1
证毕。 ⑵证明：
?1???2x2i???3x3i?i??yi?x2i??u?1?(1???2)x2i???3x3i?yi??????x???x?yi??122i33i?i?u证毕。
⑶设：zi?yi?x2i I式的拟合优度为：
2?uESS?i R12?1??1?2TSS?(yi?y)II式的拟合优度为：
?i?uESS?2 R2?1??1?2TSS(z?z)?i2?i?u?i?成立，即二式分子相同，若要模型II的拟合优度R2小于模型在⑵中已经证得uI的拟合优度R12，必须满足：
3-17．答：
⑴方程B更合理些。原因是：方程B中的参数估计值的符号与现实更接近些，如与日照的小时数同向变化，天长则慢跑的人会多些；与第二天需交学期论文的班级数成反向变化，这一点在学校的跑道模型中是一个合理的解释变量。
⑵解释变量的系数表明该变量的单位变化在方程中其他解释变量不变的条件下对被解释变量的影响，在方程A和方程B中由于选择了不同的解释变量，如方程A选择的是“该天的最高温度”而方程B选择的是“第二天需交学期论文的班级数”，由此造成X2与这两个变量之间的关系不同，所以用相同的数据估计相同的变量得到不同的符号。 3-18．答：
将模型⑴改写成(yi?2zi)????xi?ui，则?的估计值为：
2?(zi?z)2??(yi?y)2。
????(x?x)(y?2z) ?(x?x)iii2i将模型⑵改写成yi????(xi?zi)?ui，则?的估计值为：
????(x?z?x?z)y?(x?z?x?z)ii2iii
这两个模型都是三变量回归模型⑶在某种限制条件下的变形。如果限制条件正确，则前两个回归参数会更有效；如果限制条件不正确则前两个回归参数会有偏。 3-19．答：
⑴答案并不唯一，猜测为：X1为学生数量，X2为附近餐厅的盒饭价格，X3为气温，
X4为校园内食堂的盒饭价格；
⑵理由是被解释变量应与学生数量成正比，并且应该影响显著；与本食堂盒饭价格成反比，这与需求理论相吻合；与附近餐厅的盒饭价格成正比，因为彼此是替代品；与气温的变化关系不是十分显著，因为大多数学生不会因为气温升高不吃饭。 （三）基本计算类题型 3-22．解：⑴
??2??yx?x??yx?xx??x?x??xx?xxi2i23ii3i2i22i23i2i3i2i3i3i74778.346?280?4250.9?4796.0
84855.096?280?4796.02550620?757810?0.7266??3?yx?x??yx?xx???x?x??xx?xxi3i22ii2i2i22i23i2i3i2i3i3i4250.9?84855.096?74778.346?4796.0
84855.096?280?4796.022073580?757810?2.7363??Y???X???X?12233?367.693?0.7266?402.760?2.7363?8.0 ?53.1572⑵
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