高中数学选修2-3检测：组合与组合数公式(附解析)

高中数学选修2-3检测：组合与组合数公式（附解析）

课时分层作业

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．下列四个问题属于组合问题的是( )

A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．]

2．已知平面内A，B，C，D，E，F这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )

A．3 C．12 B [C36＝

6×5×4

＝20.]

3×2×1

B．20 D．24

2

3．若Cx6＝C6，则x＝( )

A．2 C．4或2

B．4 D．3

C [由组合数性质知，x＝2或x＝6－2＝4.]

324．若An＝12Cn，则n等于( )

A．8 C．3或4

B．5或6 D．4

21A [A3＝n(n－1)(n－2)，Cnn＝n(n－1)， 2

1

所以n(n－1)(n－2)＝12×2n(n－1)． 由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.]

5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各

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选修3门，则不同的选修方案共有( )

A．36种 C．96种

B．48种 D．192种

C [甲选修2门有C2乙、丙各有C3由分步乘法计4＝6种选法，4＝4种选法．数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]

二、填空题

x2x－1566．方程：C2＝C6－C6的解集为________． 4＋C4

{x|x＝2} [由组合数公式的性质可知，解得x＝1或x＝2，代入方

程检验得x＝2满足方程，所以原方程的解为{x|x＝2}．]

12187．C03＋C4＋C5＋…＋C21的值等于________.

121812181718187 315 [原式＝C04＋C4＋C5＋…＋C21＝C5＋C5＋…＋C21＝C21＋C21＝C22＝

C422＝7 315.]

8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)

210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．]

三、解答题

9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？

[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C36＝个．

117

10．求式子Cx－Cx＝10Cx中的x.

5

6

7

6×5×4

＝20

3×2×1

x！?5－x?！x！?6－x?！7·x！?7－x?！

[解] 原式可化为：－＝，∵0≤x≤5，

5！6！10·7！

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∴x2－23x＋42＝0，

∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解．

[能力提升练]

一、选择题

x－5

1．满足方程Cx2－x16＝C516的x值为( )

A．1,3,5，－7 C．1,3,5

B．1,3 D．3,5

B [由x2－x＝5x－5或x2－x＝16－(5x－5)，得x＝1,3,5，－7，只有x＝1,3时满足组合数的意义．]

2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )

A．140种 C．70种

B．84种 D．35种

2C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C1C5＝4×10＝40(种)4·

取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C2C14·5＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]

二、填空题

3．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血

型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有________种.

19 [父母应为A，B或O，C13C3＝9种．]

－1＋1

CmCmCmnnn

4．已知2＝3＝4，则m与n的值为________．

14 34 [可得：

三、解答题

3/4

5．规定Cmx＝

x?x－1?…?x－m＋1?

，其中x∈R，m是正整数，且C0x＝1，这m！

是组合数Cmn(n，m是正整数，且m≤n)的一种推广．

5

(1)求C－15的值；

(2)组合数的两个性质：

n－m①Cmn＝Cn；

m－1mm②Cmn＋Cn＝Cn＋1是否都能推广到Cx(x∈R，m是正整数)的情形；若能推

广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，请说明理由.

?－15??－16??－17??－18??－19?[解] (1)C－15＝

5！

5

＝－11 628.

(2)性质①不能推广，例如当x＝2时，性质②能推广，它的推广形式是

m－1

Cm＝Cmx＋Cxx＋1，x∈R，m为正整数．

有意义，但无意义．

证明：当m＝1时，

01有C1x＋Cx＝x＋1＝Cx＋1；

当m≥2时，

m－1Cm＝x＋Cx

x?x－1?…?x－m＋1?x?x－1??x－2?…?x－m＋2?

＋

m！?m－1?！

＝＝

x?x－1?…?x－m＋2??x－m＋1??＋1?

?m－1?！?m??x＋1?x?x－1?…?x－m＋2?

＝Cmx＋1. m！

综上，性质②的推广得证．

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