行列式的计算技巧总结

1?1??1?110?0010??100?0100. ?0?1?1?1D=

?1???00???1从第二列开始，每列乘以??1?加到第一列，得：

?（n?1)0D?0?00???1?n?11?10?0010??100?0100 ?0?1?1???00???1?n?1?.

2.5数学归纳法

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．

cos?10?0012cos?1?0001??000?1000?12cos?例9 计算行列式Dn?2cos????00?.

?2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时，D1?cos?.

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当n?2 时，D2?cos?112cos??2cos2??1?cos2?.

猜想，Dn?cosn?.

由上可知，当n?1，n?2时，结论成立．

假设当n?k时，结论成立．即：Dk?cosk?.现证当n?k?1时，结论也成立．

cos?10?0012cos?1?0001??000?1000?12cos?当n?k?1时，Dk?1?2cos????00?.

?2cos?将Dk?1按最后一行展开，得

cos?Dk?1???1?k?1?k?112cos?1?012cos?1?00?000

?2cos?10?0cos?10?01?2cos???00???2cos??0???1?k?1?k1?02cos??0 ?0???1?2cos?Dk?Dk?1.

因为

Dk?cosk?，

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Dk?1?cos?k?1???cos?k?????cosk?cos??sink?sin?，

所以

Dk?1?2cos?Dk?Dk?1

?2cos?cosk??cosk?cos??sink?sin? ?cosk?cos??sink?sin? ?cos?k?1??.

这就证明了当n?k?1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：Dn?cosn?.

2.6 递推法

技巧分析：若n阶行列式D满足关系式

aDn?bDn?1?cDn?2?0.

则作特征方程

ax2?bx?c?0.

n?1① 若??0，则特征方程有两个不等根，则Dn?Ax1n?1?Bx2．

② 若??0，则特征方程有重根x1?x2，则Dn??A?nB?x1n?1． 在①②中， A，B均为待定系数，可令n?1,n?2求出．

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9500?0004950?0000495?000例10 计算行列式Dn????????0000?490000?04解：按第一列展开，得

Dn?9Dn?1?20Dn?2.

即

Dn?9Dn?1?20Dn?2?0．作特征方程

x2?9x?20?0.

解得

x1?4,x2?5.

则

Dn?1n?A?4?B?5n?1.

当n?1时，9?A?B； 当n?2时，61?4A?5B. 解得

A??16,B?25，

所以

D?1n?5n?4n?1.

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?.

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