行列式的计算技巧总结

a10形如?0bnb1a2?000b2?00?0?0??这样的行列式叫做“两线型”行列式． ?bn?1?an4.4.2 计算方法

对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析

a10例16 求行列式Dn??0bn解：按第一列展开，得

b1a2?000b2?00?0?0??. ?bn?1?ana2Dn?1??a100b2??000b10?00 ???n?1a2?bn??1??bn?1??ann?1b2???00?bn?1?a1a2?an???1?b1b2?bn.

4.5 “三对角”型行列式

4.5.1 概念

a?b10?00aba?b1?000ab000?0?000?1000?aba?b形如

a?bab0?????00000? 这样的行列式，叫

0?a?b做“三对角型”行列式．

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4.5.2 计算方法

对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析

a?bab000?01a?bab00?0例17 求行列式D01a?bab0?0n????????00000?a?b00000?1解：按第一列展开，得

ab000?001a?bab0?00D1a?bab?00n??a?b?Dn?1?0???a?b???

0000?a?bab0000?1a?b??a?b?Dn?1?abDn?2.

变形，得

Dn?aDn?1?b?Dn?1?aDn?2?.

由于D1?a?b,D22?a?ab?b2， 从而利用上述递推公式得

Dn?aDn?1?b?Dn?1?aDn?2??b2?D2n?2?aDn?3????bn??D2?aD1??bn.

故

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000?.

aba?b

Dn?aDn?1?bn?aaDn?2?bn?1?bn???an?1D1?an?2b2???abn?1?bn???an?an?1b???abn?1?bn.

4.6 Vandermonde行列式

4.6.1 概念

1a1形如a12?a1n?1列式．

1a22a2?n?1a21a32a3?n?1a3?1?an2这样的行列式，成为n级的范德蒙德行?an??n?1?an4.6.2 计算方法

111a1a2a3222a2a3通过数学归纳法证明，可得a1???n?1n?1a1n?1a2a34.6.3 例题解析

1x1x12?x1n?2x1n1x22x2?1?an2???ai?aj?. ?an1?j?i?n??n?1?an?????1xn2xn例18 求行列式Dn??n?2x2nx2?nxn.

n?2?xn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值．

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构造n?1阶的范德蒙德行列式，得

1x1x12f?x???x1n?2x1n?1x1n1x22x2?n?2x2n?1x2nx2?11xx2?. xn?2xn?1xn?xn2?xn??n?2?xnn?1?xnn?xn将f?x?按第n?1列展开，得

f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn， 其中，xn?1的系数为

An,n?1???1?n??n?1?Dn??Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?1的系数为

1?j?i?n??xi?xj?.

??x1?x2?xn?故有

1?j?i?n??xi?xj?,

Dn??x1?x2???xn?

1?j?i?n??xi?xj?.

5、行列式的计算方法的综合运用

有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．

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