第十一章重积分
§ 1二重积分的概念
1?把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】 0,1】,并用直线
D
「 i 网x=
j n
,y=
n
(i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为
其界点?
2?证明：若函数f在矩形式域上 D可积，则f在D上有界? 3?证明定理(20.3):若f在矩形区域 D上连续，则f在D上可积? 4?设D为矩形区域，试证明二重积分性质 2、4和7.
性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g ?
性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则 岂Dg ,
性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得
D
f =f , D
5. 设Do、D1和D2均为矩形区域，且
Do = D1 D 2, intDj int Dj = ?一，试证二重积分性质
性质3(区域可加性)若Do =D1 D2且int D1 要条件是f在D2上都可积，且
3.
int Dj —一，则f在Do上可积的充
6. 设f在可求面积的区域 D上连续，证明： (1) 若在 D 上f x,y - 0,f x,y - 0则 Df (2) 若在D内任一子区域D D上都有
D
0 ；
f 二 0,则在 D 上 f x,y . = 0。
7?证明：若f在可求面积的有界闭域 D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点
, D，使得
f x,y g x,y dxdy=f , gx,y dxdy.
D
D
8.应用中值定理估计积分
rr dxdy
2
2-
凶砒o1OO cos x cos y 的值
§ 2二重积分的计算
1.计算下列二重积分：
⑴ y -2x dxdy,其中 D= 3,5】 1,2】；
D
⑵ xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】
D
0,2】；
⑶!! cosx y dxdy,其中 D=
D
⑷..
D
x 1 xy
0,1 0,11. dxdy，其中 D=
2.设f(x,y)= fl x f2 y为定义在 D= ai, bj ^2, bj上的函数 若fl在lai,b」上 可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且
3.
为不同顺序的累次积分
设f在区域D上连续 试将二重积分
D
f x,y dxdy化
(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域
2 2 2
⑵D由不等式x y _a与x y 0)所确定的区域
(3)D=如,y )x + y
4. 在下列积分中改变累次积分的顺序
x
1
2f
1 ^x2
(1) 0 dx x f (x,y dy ；
⑵ jd^_1^ x,y dy ；
3
⑶ 0dy 0 f x,y dy+ dx
dy.
5. 计算下列二重积分
2
(1) i ixy dxdy,其中D由抛物线y=2px与直线
D
X专(p>0)所围的区域；
⑵ 11 ix2 y2 dxdy,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [
D
卄 dxdy
(3) .. ------------- (a>0),其中D为图(20— 7)中的阴影部分;
D
2a -x
⑷ I l -xdxdy,其中 D='x,y x2 y2 乞 x j
D
(5) Il xydxdy,其中为圆域 x2 ya2.
D
6.写出积分11 f x,y dxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分
d
2 2
(1)D由不等式x y乞1,y^x,y-0所确定的区域
⑵D由不等式a2 _x2 ? y2 _b2所确定的区域
(3)D= ：x,y x2 y2 zy,x _0「
7?用极坐标计算二重积分：
⑴ Il si n x2
D
y2dxdy,其中 D= ' x, y 二2 乞 x2 y2 <4~'；
2
(2)
D
x y dxdy,其中 D^ x,y x2
曽F
r
y2 _x y』；
(3) II
D
「X ? y dxdy,其中 D 为圆域 x
2
22
R2.
8?在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：
2
2丄
(1)
0
dx f (x, y )dy ,其中 u=x+y,v=x-y;
(2)
i if x,y dxdy ,其中 D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若 x= U cos4 v ,
D 4
y 二 U sin v .
(3)
i if x,y dxdy，其中 D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若 x+y=u,y=uv.
9?求由下列曲面所围立体 V的体积：
(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；
2 2 | 一 , (2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；
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