专升本资料8（线性代数-改）

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⑥ 写出通解

?x1?2x2?x3?3x4?x5?2?例1 求解线性方程组??x1?2x2?x3?x4?3x5?4的通解。

?2x?4x?2x?6x?3x?62345?12?1312?r?(?1)r?1?12?1312?1??r3??3?(?2)r1解：A???1?21?134???????000246?

?2?000012?4?2636?????

?12?1300?????????00020?2?

?000012???r2?(?4)r3r1?(?1)r3?12?1003?????????00010?1??(T,d)

?000012???1()r22r1?(?3)r2?x1?2x2?x3?3?x4??1简化后的阶梯形矩阵(T,d)对应的方程组为? ?x5?2??x1?3?2x2?x3?x4??1即 ? ， 这里x2、x3为自由未知量。 ?x5?2?取x2?0，x3?0得x1?3，x4??1，x5?2； 得原非齐次方程组的一个特解：?*?(3,0,0,?1,2)T

?x1?2x2?x3?0?x4?0简化后的阶梯形矩阵T对应的齐次方程组为? ?x5?0??x1??2x2?x3?x4?0即 ? ， 这里x2、x3为自由未知量。 ?x5?0?取x2?1，x3?0得x1??2，x4?0, x5?0； 取x2?0，x3?1得x1?1，x4?0, x5?0； 于是得到对应齐次方程组的一个基础解系

?1?(?2,1,0,0,0)T ， ?2?(1,0,1,0,0)T

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因此所给原非齐次方程的通解为：

x??*?k1?1?k2?2，其中k1，k2为任意常数。

?x1?5x2?x3?x4??1?x?7x?x?3x?3?234例2 当参数a为何值时，非齐次方程组?1

3x?17x?x?x?a234?1??x1?3x2?3x3?5x4??5有解？当它有解时，求出通解。

?x1?x2?x3?x4?x5?7?3x?x?2x?x?3x??2?2345练习1 求非齐次方程组?1的通解。

2x?x?2x?6x?23345?2??8x1?3x2?4x3?3x4?x5?12?x1?x2?x3?1?练习2 当参数a为何值时，非齐次方程组??2x1?x3?1有解？当它有解时，求出通

?x?3x?4x?a23?1解。有解？当它有解时。

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