北京大学自主招生数学试题
2019.06
1. 若a,b?R?，求满足不等式x2?2ax?a2?x2?2bx?b2?a2?b2的x的取值范围.
2. 复数z1、z2满足|z1?3i|?2，|z2?8|?1，则由复数z1?z2围成的面积是（ ） A. 4? B. 8? C. 10? D. 以上全错
3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个不同的数，分别记为a，b，c，d，求a?b和c?d奇偶性相同的概率.
4. 正方形ABCD，K为△BCD内一点，满足?KDB??KBC?10?，则?KAD?（ ） A. 45° B. 60° C. 70° D. 以上全错
5. 设x,y?Z，若(x2?x?1)2?(y2?y?1)2为完全平方数，则数对(x,y)有（ ）组 A. 0 B. 1 C. 无穷多 D. 以上全错
6. 方程sinx?x根的个数为（ ） 13A. 3个 B. 7个 C. 1个 D. 以上全错
x2y2??1上一点，F1、F2为椭圆的左右焦点，O为△PF1F2的内心，若7. 设P为椭圆
2516内切圆半径为1，求OP的长度.
8. 已知数列{an}满足：ak?1?ak?4k?3（k?1,2,???），求a2?a2020.
1
参考答案
1.
P?x2?2ax?a2?x2?2bx?b2?(x?22222222 a)?(0?a)?(x?b)?(0?b)2222上式的几何意义为：平面直角坐标系xOy中，x轴上一动点到两个动点A(22a,a)、 22B(22b,b)的距离之和，设B关于x轴的对称点为B?，则P?a2?b2， 22a2?b2，∴此时x为直线B?A与x轴交点的横坐标，
而P?则lB?A:y?
b?a222ab(x?b)?b，令y?0，解得：x?. b?a22a?b2?1， 2. 设z1?x1?y1i，z2?x2?y2i，由题意可知：x12?(y1?3)2?4，(x2?8)2?y2?x1?2cos??x2?cos??8?x?x1?x2令?，?，?，
y?2sin??3y?sin?y?y?y12?1?2?则(x?8)2?(y?3)2?5?4cos(???)，
∴复数z1?z2围成得面积为一个圆环的面积S?(9?1)??8?，∴选B.
4221111A4?2A4A5?A54?4C5C4C4C311?3. P?.
A9421
4. 设正方形边长为1， 在△BKD中，由正弦定理可知：
DK2?，则DK?2sin35?，
sin35?sin135?在△ADK中，由余弦定理可知：AK2?1?4sin235??4sin35?cos55??1， 则△DAK为等腰三角形，∴?KAD?70?，∴选C.
5. 令A?x2?x?1，B?y2?y?1， 情形一：当x为奇数时，则A为奇数， 情形二：当x为偶数时，则A也为奇数，
同理可得：B也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数，
2
综上：选A.
6. 令f(x)?sinx，g(x)?
7. 设内切圆半径为r，△PF1F2的面积为S，?F1PF2??，∵r?又S?b2tanx的图像可知，只有7个根，∴选B. 132S，解得：S?8，
2a?2c?2，解得：tan?2??5r1，则sin?，∴IP??5.
?252sin2
8. ∵ak?1?ak?4k?3，则an?2?an?4，
情形一：当n为偶数时，则an?a2?4(?1)?2n?a2?4， 情形二：当n为奇数时，则an?a1?4(n2n?1?1)?2n?a1?2， 2∴a2?a2020?4036?2a2，∵a2不确定，∴a2?a2020也不确定.
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