武威第十九中学2012-2013学年度第 二学期 八 年级
第 三 单元（章）教材分析 单元分析 本章主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应用。全章分为两节，第18.1节是勾股定理，第18.2节是勾股定理的逆定理。 在18.1节中，教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题1的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理，并明确命题1就是勾股定理。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题（画出长度是无理数的线段等）中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。第18.2节是研究勾股定理的逆定理，教科书从古埃及人画直角的方法说起，给出如果一个三角形的三边满足勾股数，那么这个三角形是直角三角形的结论，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，探索这些三角形的形状，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而猜想如果三角形的三边满足这种关系，那么这个三角形是直角三角形，这样就探索得出了勾股定理的逆定理。此时这个逆定理是以命题2的方式给出的，教科书通过对照命题1和命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题的概念。命题2是否正确，需要证明，教科书利用全等三角形证明了命题2，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这在数学和实际中有广泛应用，教科书通过两个例题，让学生学会运用这种方法解决问题。 二、 “勾股定理”单元简介 本章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。 本章教学时间约需8课时，具体安排如下： 18．1 勾股定理 3 课时 18．2 勾股定理的逆定理 3课时 数学活动 小结 2课时
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武威第十九中学
2012—2013学年度第二学期集体备课教学设计
八年级 数学 学科 下 册第 三 单元（章）
单元(章) 名称、课题 课时划分 勾股定理 课时 教学课时 第 1课时 总备课数 第 1 课时 知识与能力：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 教 学 目 标 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 过程与方法：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。 情感、态度与价值观：让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣 教学勾股定理的内容及证明。 重点 教学勾股定理的证明。 难点 教法 合作探究勾股定理 学法 学生互相交流、合作探究的方法来学习勾股定理. 教学多媒体课件 网络资源 准备 教 学 过 程 第一步：课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。 让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。 你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，第 2 页（第一单元）
教 学 札 记
52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。 C对于任意的直角三角形也有这个性质D吗？ 第二步：证明新知： 方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。 abS正方形＝C2 cABS正方形＝4ab＋（a－b）2 方法二； 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 1左边S=4×ab＋c2 2右边S=（a+b）2 bab左边和右边面积相等，即 aca1a22ac4×ab＋c=（a+b） bc2c化简可得。 cbbbca方法三： abab以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, C∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, D∴ ∠ADE = ∠BEC. cbca∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. abABE∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c它的面积等于2. 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于A12?a?b?D2 1?a?b?2?2?1ab?1c2CB22. ∴ 2222∴ a?b?c. 勾股定理的证明方法，达300余种。请学生利用业余时间探究 第三步：课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； 第 3 页（第一单元）
⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ； ⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 3．△ABC的三边a、b、c，若满足b2= a2＋c2，则 =90°； 222若满足b＞c＋a，则∠B是 角； 若ADa222满足b＜c＋a，则∠B是 角。 bc4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 E第四步：课后练习 ca1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、BCbc是△ABC的三边，则 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a） ⑶b= 。（已知a、c，求b） 2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 32+42=52 3、4、5 52+122=132 5、12、13 72+242=252 7、24、25 92+402=412 9、40、41 ?? ?? 192+b2=c2 19，b、c 3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=103cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。 A4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。 求证：⑴AD2－AB2=BD·CD ⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的DBC结论。 五.布置作业 第69页第1，2，3，4题。 课 后 反 思
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