且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X，求X的分布列及期望.
【答案】（1）见解析；（2）（i）该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；（ii）若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元；（3）分布列见解析，E?X??3. 4【解析】（1）估计第一组数据平均数和第二组数据平均数来选择.
（2）对于两种方法，先计算出每亩平均产量，再算农场一年的利润.
（3）估计频率分布直方图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，X的可能取值有0，1，2，3，再算出相应的概率，写出分布列，再求期望. 【详解】
（1）第一组数据平均数为5.05?0.1?5.15?0.2?5.25?0.4?5.35?0.3?5.24千斤/亩， 第二组数据平均数为5.18?544232?5.20??5.22??5.24??5.26??5.28??5.22千斤/亩， 202020202020可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为5.05?0.1?5.15?0.2?5.25?0.4?5.35?0.3?5.24千斤. ∴该农场一年的利润为?5.24?2?1?6?0.22??100?426千元. （ii）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为斤，
∴该农场一年的利润为?5.22?2?1?6?0.2??100?424千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
5.18?5?5.20?4?5.22?4?5.24?2?5.26?3?5.28?2?5.22千
20X的可能取值有0，1，2，3，
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3C1591P?X?0??3?；
C2022821C15C35P?X?1??35?；
C20761C15C525P?X?2??3?；
C20383C51P?X?3??3?.
C20114所以X的分布列为
X P
所以E?X??1?【点睛】
0 1 2 3 91 22835 765 381 11435513?2??3??. 76381144本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列，还考查了数据处理和运算求解的能力，属于中档题.
1x2y220．已知椭圆E：2?2?1的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过左焦点
2ab的直线l交椭圆E于C、D两点（异于A、B两点），当直线l垂直于x轴时，四边形
ABCD的面积为6．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线AC、BD的交点为Q；试问Q的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
x2y2【答案】（1）??1
43（2）是为定值，Q的横坐标为定值?4
【解析】（1）根据“直线l垂直于x轴时，四边形ABCD的面积为6”列方程，由此求得b，结合椭圆离心率以及a2?b2?c2，求得a,c，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线l的方程x?my?1，联立直线l的方程和椭圆方程，化简后写出根与系
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数关系.求得直线AC,BD的方程，并求得两直线交点Q的横坐标，结合根与系数关系进行化简，求得Q的横坐标为定值?4. 【详解】
112b2（1）依题意可知?2a??6，解得b2?3，即b?3；而e?，即a?2c，
22ax2y2结合a?b?c解得a?2，c?1，因此椭圆方程为??1
43222（2）由题意得，左焦点F??1,0?，设直线l的方程为：x?my?1，C?x1,y1?，
D?x2,y2?．
由??x?my?1,22x3m?4y?6my?9?0，∴消去并整理得??22?3x?4y?12,6m?9yy?，． 123m2?43m2?4y1y?x?2?，直线BD的方程为：y?2?x?2?．
x2?2x1?2y1?y2?直线AC的方程为：y?联系方程，解得x?4my1y2?2y2?6y1，又因为?2my1y2?3?y1?y2?．
3y1?y2所以x??6?y1?y2??2y2?6y1?12y1?4y2???4．所以Q的横坐标为定值?4．
3y1?y23y1?y2【点睛】
本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线交点坐标的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知f?x??ln?x?m?，g?x??e.
x（1）当m?2时，证明：f?x??g?x?；
（2）设直线l是函数f?x?在点Ax0,f?x0??0?x0?1?处的切线，若直线l也与
??g?x?相切，求正整数m的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）m?2.
x【解析】（1）令F?x??g?x??f?x??e?ln?x?2?，求导F'?x??e?x1，可x?2知F'?x?单调递增，且F'?0??11，F'??1???1?0，因而F'?x?在??1,0?上存在2e第 19 页 共 24 页
零点a，F?x?在此取得最小值，再证最小值大于零即可.
（2）根据题意得到f?x?在点Ax0,f?x0??0?x0?1?处的切线l的方程
??y?x0x??ln?x0?m?①，再设直线l与g?x?相切于点?x1,ex?， 有
x0?mx0?m1ex1?1x，即x1??ln?x0?m?，再求得g?x?在点?x1,e?处的切线直线l的方程
x0?m1ln?x0?m?x1??为y? ②由①②可得
x0?mx0?mx0?mln?x0?m??x01???ln?x0?m?，即?x0?m?1?ln?x0?m??x0?1，根
x0?mx0?mx0?m据x0?m?1?0，转化为ln?x0?m??x0?1，0?x0?1，令
x0?m?1x?1?0?x?1?，转化为要使得h?x?在?0,1?上存在零点，则
x?m?112?0，h?1??ln?m?1???0求解. 只需h?0??lnm?m?1mh?x??ln?x?m??【详解】
（1）证明：设F?x??g?x??f?x??e?ln?x?2?，
x则F'?x??e?x111，F'?x?单调递增，且F'?0??，F'??1???1?0， x?22e因而F'?x?在??1,0?上存在零点a，且F?x?在??2,a?上单调递减，在?a,???上单调递增，
a?1?从而F?x?的最小值为F?a??ea?ln?a?2??1?a???0.
a?2a?2所以F?x??0，即f?x??g?x?.
211f'x???（2）f'?x??，故， 0x0?mx?m故切线l的方程为y?x0x??ln?x0?m?①
x0?mx0?mxx设直线l与g?x?相切于点x1,e1，注意到g'?x??e， ??第 20 页 共 24 页
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