(新课标)天津市最新2020-2021年最新高考数学二轮复习 综合能力训练 理

=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,

∴{an-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.

(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1

, 即an-1

n=2+n,∴bn==1+

设cn=,且前n项和为Tn,

则Tn=+…+, ① Tn=+…+,

②

①-②,得

Tn=1++…+=2-

故Tn=4-,Sn=n+4-

17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.

当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又

DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1, 所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.

同理可证四边形PQMN也是等腰梯形. 分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG, 则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,

PQ.11

故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.

若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形. 连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.

在△GOH中,GH=4,OH=1+λ-222

=λ2+,OG=1+(2-λ)-22

=(2-λ)2+2

,

2

2

2

由OG+OH=GH,得(2-λ)+故存在λ=1±+λ2+=4,解得λ=1±,

,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.

解法二 以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).

=(-2,0,2),

(1)证明:当λ=1时,因为所以

=(-1,0,λ),=(-1,0,1).

=(1,1,0).

=(-2,0,2), =2

,即BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ. (2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),

则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).

同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1). 若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角, 则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

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即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±

,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.

18.解 (1)由已知,有P(A)=

所以,事件A发生的概率为

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

所以,随机变量X的分布列为

X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)=0+1+219.(1)解 依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2

∴椭圆C的标准方程为=1.

(2)解 由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),

过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①

直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率直线MF1的方程为y=-(x+2),

即yy0=-(x0+2)(x+2),

②

①②联立,解得x=-8,

=1.

=-,

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故点M的轨迹方程为x=-8.

(3)证明 依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),

点N在切线MP上,由①式得yN=, 点M在直线MF1上,由②式得yM=,

|NF21|2=,|MF1|=[(-2)-(-8)]2

+,

故

=, ③

注意到点P在椭圆C上,即

=1,

于是,代入③式并整理得

,故

的值为定值

20.(1)解 ∵f(x)=ln(1+x)+x2

-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=

①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)

②当00,

当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间

内单调递减,

此时,f(x)

③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.

④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,

则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意. 综上所述,a的取值范围为[1,+∞).

(2)证明 由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,

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即ln(1+x)

∴ln

+ln

+…+ln

+…+…

由于n∈N*,则

=1. ∴ln

<1.

由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-x2

+…+

即

,

得

由于n∈N*

,则

,即

+…+ln

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ln