最新人教A版选修2-2高中数学导学案全册课堂导学全文和答案

1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念

[学习目标]

1．了解导数概念的实际背景．

2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接]

很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？

33V答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，

4π(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为

r1－r0

1－0

≈0.62(dm/L)．

(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为

r2－r1

2－1

≈0.16(dm/L)．

可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

[预习导引]

1．函数的变化率

平均 变化率 定义 实例 fx2－fx1函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，x2－x1简记作：Δy Δx①平均速度；②曲线割线的斜率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到瞬时 x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即lim Δx→0x0＋Δx－fx0Δy＝lim . Δx→0ΔxΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率 变化率 f2.函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0

Δyf＝lim ΔxΔx→0

x0＋Δx－fx0

称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)

ΔxΔyf＝lim ΔxΔx→0x0＋Δx－fx0

.

Δx

要点一 求平均变化率

例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.

(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.

(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴

Δy＝－4.9Δx－3.3. ΔxΔy①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；

ΔxΔy②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；

Δx③当Δx＝0.1时，

Δy＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ΔxΔy＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. Δx④当Δx＝0.01时，

(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率

Δyf＝Δxx2－fx1

.

x2－x1

跟踪演练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． 解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

fx0＋Δx－fx0[3x0＋Δx＝

x0＋Δx－x06x0·Δx＋3Δx＝

Δx2

2

＋2]－Δx3x20＋2

＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. 要点二 物体运动的瞬时速度

例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝

65

s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况． 98

65h解 令t0＝，Δt为增量．则

9865?65?

4.9×??2－6.5×－10

98?98?

Δtt0＋Δt－ht0

Δt?65??65?

－4.9×?＋Δt?2＋6.5×?＋Δt?＋10

?98??98?

＝＋

Δt?65?

－4.9Δt?＋Δt?＋6.5Δt?65??49?

＝＝－4.9?＋Δt?＋6.5，

Δt?49?∴lim Δt→0

ht0＋Δt－ht0??65??

＋Δt????＝0， ＝lim －4.9＋6.5Δt→0Δt??49??

65

即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.

98说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．

规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下： (1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； (2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝

Δs； ΔtΔs(3)求lim 的值，即得t＝t0时的瞬时速度． Δt→0Δt跟踪演练2 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1 ＝4aΔt＋a(Δt)2， ∴

Δs＝4a＋aΔt. ΔtΔs＝4a，即4a＝8，∴a＝2. Δt在t＝2 s时，瞬时速度为lim Δx→0要点三 函数在某点处的导数

例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．

解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx， Δy3Δx2＋4Δx∵＝＝3Δx＋4， ΔxΔxΔy∴y′|x＝1＝lim ＝lim (3Δx＋4)＝4. Δx→0ΔxΔx→0

规律方法 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率

Δyf＝Δxx0＋Δx－fx0

；

ΔxΔy(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim . Δx→0Δx跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数

f2＋Δx－f2f′(2)＝lim ，而f(2＋Δx)－f(2) Δx→0Δx＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2) ＝－(Δx)2－Δx， 于是f′(2)＝lim Δx→0

－

Δx2－Δx＝lim (－Δx－1)＝－1. Δx→0Δx

1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A．4 C．0.41 答案 B 解析 v＝

3＋2.12

－

0.1

3＋22

＝4.1.

B．4.1 D．3

2．函数f(x)在x0处可导，则lim Δx→0A．与x0、h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 答案 B

fx0＋h－fx0

( )

h3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则A．4 C．4＋2Δx 答案 C

解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴4．已知函数f(x)＝1

答案 －

2

1

－11＋Δx1

＝lim Δx→0Δx1

，则f′(1)＝________.

B．4x D．4＋2(Δx)2

Δy等于( ) ΔxΔy＝2Δx＋4. Δxx解析 f′(1)＝lim Δx→0＝lim Δx→0

f1＋Δx－fΔx1＋Δx－1

1＋1＋Δx1＝－.

2

利用导数定义求导数三步曲：

(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)作比求平均变化率

Δyf＝Δxx0＋Δx－fx0

；

ΔxΔy， Δx(3)取极限得导数f′(x0)＝lim Δx→0简记为一差，二比，三极限.

一、基础达标

1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率A．大于0

fx0＋Δx－fx0

中，Δx不可能是( )

ΔxB．小于0

C．等于0 答案 C 2．

D．大于0或小于0

如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( ) A．1 C．2 答案 B

Δyf3－f解析 ＝

Δx3－1

1

1－3

＝＝－1.

2

B．－1 D．－2

3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( ) A．－4.8 m/s C．0.88 m/s 答案 A

解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 4．设函数f(x)可导，则lim Δx→0A．f′(1) 1

C．f′(1) 3答案 A

B．－0.88 m/s D．4.8 m/s

f1＋3Δx－f1

等于( )

3ΔxB．3f′(1) D．f′(3)

f1＋3Δx－f1

解析 lim ＝f′(1)． Δx→03Δx2

5．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.

x答案

1 3

1?2??2?4

＋3?－?＋3?＝－1＝. 解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝?

3?1.5??2?3

6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________． 答案 3

解析 v初＝s′|t＝0＝lim Δx→0

s0＋Δt－s0

＝lim (3－Δt)＝3. Δx→0Δt7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．

解 因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化Δy－8Δx－2Δx率为＝

ΔxΔx二、能力提升 8.

2

＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为lim (－8－2Δx)＝－8. Δx→0

甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( ) A．甲 C．相同 答案 B

解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，

但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)

即??

B．乙 D．不确定

t0－W1t0－Δt??W2t0－W2t0－Δt?

?

ΔtΔt???

治污效果较好．

9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________. 答案 2.1 2.001

解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，