【解析】选C.因为an+2+(-1)an=1,所以a2k+1+a2k-1=1,a2k+2-a2k=1,k∈N,所以数列
n-1*
是等差数列,首项为
2,公差为1.S40=[(a1+a3)+…+(a37+a39)+(a2+a4+…+a38+a40)]=10+2×20+×1=240.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.在等差数列{an}中,a2+a6+2a8=8,则此数列的前11项的和等于________.
【解析】由题知,a2+a6+2a8=8,所以2a4+2a8=8,所以a4+a8=4,所以2a6=4,解得a6=2,所以数列的前11项的和
S11=答案:22
==11a6=22.
【一题多解】本小题还可以采用以下解法:
由题知,a2+a6+2a8=8,所以4a1+20d=8,即a1+5d=2,S11=11a1+答案:22
14.已知正项数列{an}满足【解析】因为
-6
-6=an+1an,
d=11×(a1+5d)=22.
=an+1an.若a1=2,则数列{an}的前n项和为________.
所以(an+1-3an)(an+1+2an)=0, 因为an>0,所以an+1=3an,
又因为a1=2,所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,
所以数列{an}的前n项和Sn=答案:3-1
n
=3-1.
n
15.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方
形,…,如此继续,若共得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为________.
,则最小正方形的边长为
【解析】设1+2+4+…+2=1 023,即
n-1
=1 023,2=1 024,n=10.正方形边长构成数列
n
,,,…,其中第10项为=,即所求最小正方形的边长为.
答案:
16.已知{an}是等差数列, d为其公差, Sn是其前n项和,若只有S4是数列{Sn}中的最小项,则可得出的结论中正确的是________.
①d>0,②a4<0,③a5>0,④S7<0,⑤S8>0.
【解析】Sn=na1+d,
因为只有S4是{Sn}中的最小项,
所以
?
因为a4=a1+3d,a5=a1+4d,所以-d a4<0,a5>0.S7=7a1+d=7(a1+3d)=7a4<0.S8=8a1+d=4(2a1+7d),由-4d 即-4d 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2018·沈阳模拟)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,首项a1=1,且a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列{bn}满足bn=an+ ,求数列{bn}的前n项和为Tn. 【解析】(1)由题设,得=a1a4,即(1+d)=1+3d化简,得d-d=0 22 又d≠0,所以d=1,所以an=n. (2)由(1)得,bn=n+2 n Tn=(1+2+3+…+n)+(2+2+…+2)=18.(12分)已知数列(1)求证: 2n +2-2. * n+1 中,b1=1,bn+1=2bn+3,n∈N. 是等比数列. (2)若cn=log2(bn+3),求数列的前n项和Rn. 【解析】(1)因为==2且b1+3=4, 所以{bn+3}是首项为4,公比为2的等比数列. (2)由(1)知bn+3=4×2=2, 所以bn=2-3, n+1 n-1 n+1 则cn=log2(bn+3)=n+1,=-, Rn=-+-+…+-=-=. 【误区警示】需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误. 【变式备选】已知正项等差数列(1)求数列 的通项公式. 的前n项和为Sn且满足a1+a5=,S7=63. (2)若数列满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列的前n项和Tn. 【解析】(1)设正项等差数列的首项为a1,公差为d,且an>0, 则 所以an=2n+1. 解得:或(舍去) (2)因为bn+1-bn=an+1且an=2n+1,所以bn+1-bn=2n+3, 当n≥2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+…+5+3=n(n+2), 当n=1时,b1=3满足上式,所以bn=n(n+2), 所以== 所以Tn=++…++ =[+++…+(-)+] = =-. 19.(12分)(2018·武汉模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S3+2,S9+2,S6+2成等差数列且a2+a5=4. (1)求数列{an}的公比q. (2)设bn=log2|an|,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,当q≠1时,因为S3+2,S9+2,S6+2成等差数列, 且a2+a5=4, 所以2(S9+2)=S6+2+S3+2,a1(q+q)=4. 4 所以2× 化为(2q+1)(q-1)=0, 3 3 =+, 解得:q=-,a2=8,当q=1时,不满足条件,舍去, 3
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