2020版高考数学大一轮复习-高考专题突破六高考中的概率与统计问题教案（理）（含解析）新人教A版

高考专题突破六 高考中的概率与统计问题

题型一 离散型随机变量的期望与方差

例1某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用

η表示经销一辆汽车的利润.

付款方式 频数

(1)求上表中的a，b值；

(2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)；

(3)求η的分布列及期望E(η)． 解 (1)由＝0.2，得a＝20.

100

又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.

(2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得

分3期 40 分6期 20 分9期 分12期 10 分15期 a b aP(ξ＝3)＝

4020

＝0.4，P(ξ＝6)＝＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2， 1001001010

＝0.1，P(ξ＝15)＝＝0.1. 100100

3

1

P(ξ＝12)＝则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.8＋C3

1

×0.2×(1－0.2)＝0.896.

(3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15.

而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2.

所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为

2

η P 1 0.4 1.5 0.4 2 0.2 所以η的期望E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4. 思维升华离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的期望和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应． 跟踪训练1某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及期望．

解 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．

C3C5

X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝3(i＝0，1,2,3)，

C8C3C55C3C515

则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝3＝，

C828C828C3C515C3C51

P(X＝2)＝3＝，P(X＝3)＝3＝.

C856C856所以X的分布列为 21

30

03

12

i3－iX P 所以X的期望为E(X)＝0×

0 5 281 15 282 15 563 1 56515151639＋1×＋2×＋3×＝＝. 28285656568

2

题型二 概率与统计的综合应用

例2(2016·全国Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2，X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22，从而

3

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；

所以X的分布列为 X P

16 0.04 17 0.16 18 0.24 19 0.24 20 0.2 21 0.08 22 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040(元)．

当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080(元)．

可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19. 思维升华概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性． 跟踪训练2经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获得利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

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