(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的期望． 解 (1)当X∈[100,130)时，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.
当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65000.
??800X－39000，100≤X<130，所以T＝?
?65000，130≤X≤150.?
(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为
T P 45000 0.1 53000 0.2 61000 0.3 65000 0.4 所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400. 5
题型三 概率与统计案例的综合应用
例3 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数 男 女 总计 (1)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关？
(2)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户．
①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率； ②为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为X，求X的分布列及期望．
1次 10 5 15 2次 8 4 12 3次 7 6 13 4次 3 4 7 5次 2 6 8 6次及以上 15 30 45 总计 45 55 100 n?n11n22－n12n21?2附公式及表如下：χ＝. n1＋n2＋n＋1n＋2
2
P(χ2≥k0) k0
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解 (1)由表格数据可得2×2列联表如下：
男
非移动支付活跃用户 25 移动支付活跃用户 20 合计 45 6
女 合计
15 40 40 60 55 100 将列联表中的数据代入公式计算，得
n?n11n22－n12n21?χ2＝ n1＋n2＋n＋1n＋2
100×?25×40－15×20?2450＝＝≈8.249>7.879.
40×60×55×45297
所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关． (2)视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户， 12该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为. 33
①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为P＝1－
2
?1?4－?2?4＝64. ?3??3?81????
②记抽出的男“移动支付达人”人数为Y，则X＝300Y.
?1?由题意得Y～B?4，?， ?3?
04
P(Y＝0)＝C0； 4????＝
?3??3?81
?1??2??1??2??1??2??1??2??1??2?16322481
13
P(Y＝1)＝C1； 4????＝
?3??3?81
22
P(Y＝2)＝C2＝； 4????＝
?3??3?8127
8
31
P(Y＝3)＝C3； 4????＝
?3??3?81
40
P(Y＝4)＝C4. 4????＝
?3??3?81
所以Y的分布列为
Y P 所以X的分布列为
0 16 811 32 812 8 273 8 814 1 81X P 0 16 81300 32 81600 8 27900 8 811200 1 81 7
14
由E(Y)＝4×＝，
33
得X的期望E(X)＝300E(Y)＝400.
思维升华概率与统计案例的综合应用常涉及相互独立事件同时发生的概率、频率分布直方图的识别与应用、数字特征、独立性检验等基础知识，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识．
跟踪训练3电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？
男 女 合计
非体育迷 体育迷 10 合计 55 (2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X)．
n?n11n22－n12n21?2附：χ＝.
n1＋n2＋n＋1n＋2
2
P(χ2≥k0) 0.10 0.05 0.01 8
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