专题一：推理与证明 知识结构
合情推理 推理 推理与证明 证明 间接证明 数学归纳法 演绎推理 归纳推理 类比推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤：
?通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）； ?证明（视题目要求，可有可无）. 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤：
?找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； ?检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么
S中所有元素也都具有性质P.
M ·a S 1 / 15
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示： 要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤;
*（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0?N)时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设n?k(k?n0,k?N)时命题成立，推证当n?k?1时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
专题二：数系的扩充与复数 1、复数的概念 ⑴虚数单位i；
⑵复数的代数形式z?a?bi(a,b?R)；
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数z?a?bi?a,b?R?
?实数(b?0)??纯虚数(a?0,b?0) ?虚数(b?0)???非纯虚数(a?0,b?0)?3、相关公式 ⑴a?bi?c?di?a?b,且c?d
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⑵a?bi?0?a?b?0 ⑶z?a?bi?a2?b2
⑷z?a?bi
z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）. 4、复数运算 ⑴复数加减法：?a?bi???c?di???a?c???b?d?i； ⑵复数的乘法：?a?bi??c?di???ac?bd???bc?ad?i；
⑶复数的除法：
a?bi?a?bi??c?di?? c?di?c?di??c?di?
??ac?bd???bc?ad?i?ac?bd?bc?adic2?d2c2?d2c2?d2（类似于无理数除法的分母有理化?虚数除法的分母实数化） 5、常见的运算规律 (1)z?z;2(2)z?z?2a,z?z?2bi;
2(3)z?z?z?z?a2?b2;(4)z?z;(5)z?z?z?R
(6)i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1;
2(7)?1?i?21?i1?i?1?i???i;(8)?i,??i,???i ?1?i1?i?2??1?3i3n?12??,?3n?2??,?3n?3?1 是1的立方虚根，则1?????0，?2(9)设??6、复数的几何意义 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
一一对应复数z?a?bi?????复平面内的点Z（a,b) uuur复数z?a?bi?????平面向量OZ 一一对应
专题三：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有
m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事情共有
N?m1?m2???mn种不同的方法.
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