第八节 函数与方程
要求 内容 A B C 函数与方程 √ 考纲传真 1
1．函数零点的定义
(1)把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，从图象上看，函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标． 2．函数零点的判定
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
3．二次函数y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
2
Δ>0 Δ＝0 Δ<0 函数的图象 与x轴的交点 零点个数 bx1＝x2＝－ 2a一个 无交点 没有 x1＝－b－Δ－b＋Δ，x2＝ 2a2a两个 2
4.二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)对于定义域内的两个变量x1，x2，若f(x1)·f(x2)<0，则函数有零点．( ) (3)若f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )
(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续的，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．( [解析] (1)函数的零点是使函数值为0的x值，是一个数，而图象与x轴的交点是一个点．(1)错误． (2)如果函数图象不连续，就不能确定有零点，(2)错误．
(3)f(a)·f(b)>0不能判断是否有零点，如y＝x2
－3x＋2.f(0)·f(3)>0但有零点为1和2，(3)错误． (4)由判定定理可知(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编题)函数f(x)＝2x＋x－3的零点共有________个． [解析] 由y＝2x与y＝－x＋3的图象可知有1个零点．
) 3
[答案] 1
3．(2014·泰州模拟)已知函数f(x)＝3ax－2a＋1在区间(－1,1)内存在x0，使f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________． [解析] 由f(－1)f(1)＝(3a－2a＋1)·(－3a－2a＋1) ＝(a＋1)(1－5a)<0，∴a>1
5
或a<－1.
[答案] (－∞，－1)∪??1?5，＋∞???
4．(2014·北京高考改编)已知函数f(x)＝6
x－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是________．(填序号)
①(0,1)；②(1,2)；③(2,4)；④(4，＋∞)． [解析] f′(x)＝－61
x2－xln 2，∵x>0，∴f′(x)<0.
∴x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数．
而f(1)＝6>0，f(2)＝2>0，f(4)＝3
2－2<0，故③正确．
[答案] ③
5．(2014·常州模拟)若函数f(x)＝x2
＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是________． [解析] ∵f(x)＝x2
＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2
＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系知???
－2＋3＝－a，
??－2×3＝b，
∴???a＝－1，
??b＝－6，
∴f(x)＝x2
－x－6.∵不等式af(－2x)>0，
4
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